PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

NAMA: ALIYA RAHMAH

KELAS: XI IPS 2

ABSEN 04

PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

 

KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA 

Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi beriku:

1. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke atas pada I, maka grafik f berada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah).
2. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke bawah pada I, maka grafik f berada di bawah semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (b) di bawah).

Report this ad

Untuk menemukan selang buka di mana suatu grafik fungsi f cekung ke atas atau cekung ke bawah, kita harus menemukan selang di mana f ’ naik atau turun. Sebagai contoh, grafik

akan terbuka ke bawah pada selang buka (–∞, 0) karena

turun pada selang tersebut. Demikian pula, grafik f akan cekung ke atas pada selang (0, ∞) karena f ’ naik pada selang tersebut. Perhatikan gambar di bawah.

Teorema berikutnya menunjukkan bagaimana penggunaan turunan kedua suatu fungsi untuk menentukan selang di mana grafik f tersebut cekung ke atas atau cekung ke bawah. Bukti teorema ini merupakan akibat langsung dari Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun, dan definisi kecekungan.

---

Teorema Uji Kecekungan

Misalkan f adalah suatu fungsi yang turunan keduanya ada pada selang buka I.

1. Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke atas pada I.
2. Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke bawah pada I.

---

Untuk menerapkan Teorema Uji Kecekungan, tentukan lokasi nilai-nilai x sedemikian sehingga f ”(x) = 0 atau f ” tidak ada. Gunakan nilai-nilai x tersebut untuk menentukan selang uji. Kemudian, ujilah tanda f ”(x) pada masing-masing selang uji.

 

INTERVAL FUNGSI NAIK DAN TURUN

Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa fungsi f(x) naik pada interval $x<a$ atau $x>b$ dan turun pada interval $a<x<b$

Selain dengan melihat secara visual pada grafik, interval naik atau turunnya suatu fungsi dapat ditentukan dari turunan pertama fungsi tersebut.

1. Jika f '(x) > 0 untuk semua x yang berada pada interval I, maka f naik pada I.
2. Jika f '(x) < 0 untuk semua x yang berada pada interval I, maka f turun pada I.

SOAL-SOAL

1. Diberikan fungsi g(x)=2x3−9x2+12x. Interval x yang memenuhi kurva fungsi g(x) selalu naik adalah ⋯⋅
A. x<−2 atau x>−1
B. x<−1 atau x>2
C. x<1 atau x>2
D. 1<x<2
E. −1<x<2

  

PEMBAHASAN: 

Diketahui $g\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x$, sehingga turunan pertamanya adalah $g^{\prime }\left(x\right)=6x^2-18x+12$.
Kurva $g\left(x\right)$ selalu naik jika diberi syarat $g^{\prime }\left(x\right)>0$.
$\begin{array}{cc}6x^2-18x+12& >0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}6\\ x^2-3x+2& >0\\ (x-2)(x-1)& >0\\ \therefore x<1\text{atau}x& >2\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik adalah $x<1\text{atau}x>2$
(Jawaban C)

 

2.  Interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$ selalu turun adalah $\cdots \cdot$
A. $-1<x<3$
B. $0<x<3$
C. $1<x<3$
D. $x<1$ atau $x>3$
E. $x<0$ atau $x>3$

$\mathrm{PEMBAHASAN:}$

$\mathrm{Diketahui\; f(x)=x3-6x2+9x+2,\; sehingga\; turunan\; pertamanya\; adalah\; f\prime (x)=3x2-12x+9.\; Kurva\; f(x)\; selalu\; turun\; jika\; diberi\; syarat\; f\prime (x)<0.\; 3x2-12x+9<0Kedua\; ruas\; dibagi dengan 3x2-4x+3<0(x-3)(x-1)<0\therefore 1<x<3\; Jadi,\; interval\; x\; yang\; membuat\; kurva\; fungsi\; f(x)\; selalu\; turun\; adalah\; 1<x<3\; (Jawaban\; C)}$

3. Grafik fungsi $\pi \left(x\right)=x^3+3x^2+5$ tidak pernah naik untuk nilai-nilai $\cdots \cdot$
A. $-2\le x\le 0$
B. $-2\le x<0$
C. $-2<x\le 0$
D. $x\le -2$ atau $x\ge 0$
E. $-2<x<0$

$\mathrm{PEMBAHASAN:}$

Diketahui $\pi \left(x\right)=x^3+3x^2+5$, sehingga turunan pertamanya adalah ${\pi }^{\prime }\left(x\right)=3x^2+6x$.
Grafik fungsi $\pi \left(x\right)$ tidak pernah naik jika diberi syarat ${\pi }^{\prime }\left(x\right)\le 0$.
$\begin{array}{cc}3x^2+6x& \le 0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2+2x& \le 0\\ x(x+2)& \le 0\\ \therefore -2\le x& \le 0\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $\pi \left(x\right)$ tidak pernah turun adalah $-2\le x\le 0$
(Jawaban A)

4. Diberikan fungsi $R\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-2$. Nilai-nilai $x$ dari fungsi tersebut mengakibatkan kurva fungsi $R\left(x\right)$ $\cdots \cdot$
A. tidak pernah naik
B. tidak pernah turun
C. bisa naik, bisa turun
D. selalu turun
E. selalu naik

 

PEMBAHASAN:

Diketahui $R\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-2$.
Turunan pertamanya adalah $R^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x+3$. Selanjutnya, kita akan mencari titik stasioner fungsi tersebut, yakni saat $R^{\prime }\left(x\right)=0$.
$\begin{array}{cc}3x^2-6x+3& =0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-2x+1& =0\\ (x-1{)}^2& =0\\ x& =1\end{array}$
Perhatikan bahwa pada ekspresi $(x-1{)}^2$, kita mendapati bahwa nilai darinya tidak mungkin bertanda negatif (ingat bahwa semua bilangan real yang dikuadratkan tidak akan bertanda negatif), sehingga grafik fungsi $R\left(x\right)$ tidak pernah turun, melainkan stasioner (tetap) atau naik

 

5. Grafik fungsi $f\left(x\right)=a{x}^3+x^2+5$ akan selalu naik dalam interval $0<x<2$. Nilai $a$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$                     C. $\frac{1}{3}$                 E. $3$
B. $-\frac{1}{3}$                    D. $1$

$\mathrm{PEMBAHASAN:}$

$\mathrm{Diketahui\; f(x)=ax3+x2+5\; dan\; f(x)\; selalu\; naik\; di\; 0<x<2,\; mengimplikasikan\; bahwa\; (x-0)(x-2)<0x(x-2)<0x2-2x<0(\cdots 1)\; Turunan\; pertama\; f(x)\; adalah\; f\prime (x)=3ax2+2x.\; Grafik\; fungsi\; f(x)\; selalu\; naik\; jika\; diberi\; syarat\; f\prime (x)>0.\; 3ax2+2x>0Kedua\; ruas\; dikali dengan -1-3ax2-2x<0(\cdots 2)\; Kaitkan\; pertidaksamaan\; (1)\; dan\; (2).\; \{x2-2x<0-3ax2-2x<0\; Diperoleh\; -3a=1\Rightarrow a=-13\; Jadi,\; Nilai\; a\; yang\; membuat\; f(x)\; selalu\; naik\; pada\; interval\; tersebut\; adalah\; -13 \; (Jawaban\; B)}$ 

DAFTAR PUSTAKA

https://smatika.blogspot.com/2016/04/menentukan-interval-fungsi-naik-dan_24.html

https://yos3prens.wordpress.com/2015/03/24/penerapan-turunan-kecekungan-dan-uji-turunan-kedua/ 

https://mathcyber1997.com/materi-soal-dan-pembahasan-fungsi-naik-dan-fungsi-turun/