MATERI TRIGONOMETRI DASAR: SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

Nama: Aliya Rahmah

Kelas: XI IPS 2

Absen: 04

KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

- Nilai maksimum $\rightarrow f'(x) = 0$

Jika $f'(x_1) = 0$ dan $f'(x_1) < 0$ , maka $f'(x_1)$ adalah nilai balik maksimum dari fungsi y = f(x) dan titik $(x_1 f(x))$ adalah titik balik maksimum dari kurva y = f(x).

- Nilai minimum $\rightarrow f'(x) = 0$

Jika $f'(x_1) = 0$ dan $f'(x_1) > 0$ , maka $f(x_1)$ adalah nilai balik minimum dari fungsi $y = f(x)$ dan titik $(x_1f(x))$ adalah titik balik minimum dari kurva y = f(x).

SOAL KONTEKSTUAL TURUNAN

1. Suatu pembangunan proyek gedung sekolah dapat diselesaikan dalam hari dengan biaya proyek per hari ribu rupiah. Agar biaya proyek minimum, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu hari.
A. C. E.
B. D

PEMBAHASAN:

Misalkan $f (x)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ribu rupiah, sehingga
$\begin{aligned} f (x) & = x (2 x - 600 + \frac{30}{x}) \\ = 2 x^{2} - 600 x + 30 \end{aligned}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{'} (x) = 0$ , yakni
$\begin{aligned} 4 x - 600 & = 0 \\ 4 x & = 600 \\ x & = 150 \end{aligned}$
Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $150 hari$ agar biaya proyeknya minimum.
(Jawaban C)

2. Proyek pembangunan suatu gedung dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $(3 x - 180 + \frac{5.000}{x})$ ratus ribu rupiah. Biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\dots$ juta rupiah.
A. $220$ C. $230$ E. $280$
B. $225$ D. $260$

PEMBAHASAN:

Misalkan $f (x)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ratus ribu rupiah, sehingga
$\begin{aligned} f (x) & = x (3 x - 180 + \frac{5.000}{x}) \\ = 3 x^{2} - 180 x + 5.000 \end{aligned}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{'} (x) = 0$ , yakni
$\begin{aligned} 6 x - 180 & = 0 \\ 6 x & = 180 \\ x & = 30 \end{aligned}$
Proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 30 hari agar biaya proyeknya minimum. Biaya yang dimaksud sebesar
$\begin{aligned} f (30) & = 3 (30)^{2} - 180 (30) + 5.000 \\ = 2.700 - 5.400 + 5.000 = 2.300 \end{aligned}$
Jadi, biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $230 juta rupiah$
(Jawaban C)

3. Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi $h$ meter setelah $t$ detik dirumuskan dengan $h (t) = 120 t - 5 t^{2}$ , maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah $\dots$ meter.
A. $270$ C. $670$ E. $770$
B. $320$ D. $720$

PEMBAHASAN:

Diketahui: $h (t) = 120 t - 5 t^{2}$

Turunan pertama fungsi $h$ adalah

$h^{'} (t) = 120 - 10 t$
Nilai $t$ akan maksimum saat $h^{'} (t) = 0$ , sehingga ditulis
$120 - 10 t = 0 \Leftrightarrow 10 t = 120 \Leftrightarrow t = 12$
Ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru adalah saat $t = 12$ , yaitu
$\begin{aligned} h (12) & = 120 (12) - 5 (12)^{2} \\ = 1440 - 720 = 720 \end{aligned}$
Jadi, ketinggian maksimum peluru adalah $720 meter$
(Jawaban D)

4. Total penjualan suatu barang $(k)$ merupakan perkalian antara harga $(p)$ dan permintaan $(x)$ yang dinyatakan dengan $k = p x$ . Untuk $p = 90 - 3 x$ dalam jutaan rupiah dan $1 \leq x \leq 30$ , maka total penjualan maksimum adalah $\dots \cdot$
A. Rp1.350.000.000,00
B. Rp675.000.000,00
C. Rp600.000.000,00
D. Rp450.000.000,00
E. Rp45.000.000,00

PEMBAHASAN:

Diberikan $k = p x$ . Untuk $p = 90 - 3 x$ , diperoleh
$k = (90 - 3 x) x = - 3 x^{2} + 90 x$
$k$ akan maksimum saat turunan pertamanya, yaitu $\frac{d k}{d x}$ bernilai $0$ , ditulis
$\begin{aligned} \frac{d k}{d x} & = - 6 x + 90 \\ 0 & = - 6 x + 90 \\ 6 x & = 90 \\ x & = 15 \end{aligned}$ $\begin{aligned} \frac{d k}{d x} & = - 6 x + 90 \\ 0 & = - 6 x + 90 \\ 6 x & = 90 \\ x & = 15 \end{aligned}$
Nilai $x = 15$ berada pada interval $x$ yang diberikan.
Substitusikan ke persamaan $k = - 3 x^{2} + 90 x$ , sehingga diperoleh
$k_{max} = - 3 (15)^{2} + 90 (15) = 675$
Jadi, total penjualan maksimum adalah $675$ juta rupiah atau Rp675.000.000,00
(Jawaban B)

5. Pada percobaan meluncurkan sebuah roket mempunyai lintasan berbentuk parabola dan pada t sekon ketinggian h meter dirumuskan dengan $h(t)=200t-25t^2$ . Tinggi maksimum yang dapat dicapai oleh roket adalah ...
A. 340 m
B. 354 m
C. 360 m
D. 400 m
E. 420 m

PEMBAHASAN:
$h(t)=200t-25t^2$
untuk menentukan maksimum/minimum, maka:
$x^2+3x-5$ $h'(t)=0$
$\Leftrightarrow h'(t)=200-50t$

$\Leftrightarrow 200-50t=0$

$\Leftrightarrow t=\frac{200}{50}=4$
waktu yang diperlukan untuk mencapai ketinggian maksimum t = 4 detik, sehingga tinggi maksimumnya adalah
$h(t)=200t-25t^2$ untuk $t=4$

$\Leftrightarrow h(4)=200(4)-25(4)^2$

$\Leftrightarrow h(4)=800-400=400$
jadi, ketinggian maksimum yang dapat dicapai benda adalah 400 meter.
JAWABAN: D

6. Sebuah peluru ditembakan vertikal keatas. Tinggi peluruh (h) dalam meter dengan waktu (t) dalam sekon dinyatakan dengan $h(t)=21t-6t^2.$ Waktu untuk mencapai tinggi maksimum adalah ...
A. 1 sekon
B. 1,25 sekon
C. 1,5 sekon
D. 1,75 sekon
E. 2 sekon
Pembahasan :

$h(t)=21t-6t^2$
untuk menentukan maksimum/minimum, maka:
$h'(t)=0$

$\Leftrightarrow h'(t)=21-12t$

$\Leftrightarrow 21-12t=0$

$\Leftrightarrow t=\frac{21}{12}=1,75$
Jadi, waktu maksimum untuk mencapai ketinggian adalah 1,75 sekon
JAWABAN: D

7. Dua kandang berdampingan masing-masing dengan ukuran $x$ m, $y$ m dan luasnya $12$ m $^{2}$ . Agar panjang pagar diperlukan paling sesedikit mungkin, maka panjang $x$ dan $y$

berturut-turut adalah…

latihan-soal-aplikasi-turunan-sedang-01

$2$

$2$ $2$

$\Rightarrow y = \frac{12}{x}$

….(1)

Keliling $= 3 x + 4 y$

$\begin{aligned} K & = 3 x + 4 (\frac{12}{x}) \\ = 3 x + \frac{48}{x} \end{aligned}$

$K^{'} (x) = 0$

(syarat agar maksimum)

$3 - \frac{48}{x^{2}} = 0$

$3 x^{2} = 48$

$\Rightarrow x^{2} = 16$

$⟺ x = 4$

$2$ $2$

, maka

$\begin{aligned} y & = \frac{12}{4} \\ = 3. \end{aligned}$

$2$

$2$ $2$ $2$ Rusuk suatu kubus bertambah panjang dengan laju $7$ cm per detik. Laju bertambahnya volume pada saat rusuk panjangnya $15$ cm adalah…

A. 675 cm/detik

B. 1.575 cm/detik

C. 3. 357 cm/detik

D. 4725 cm/detik

E. 23.625 cm/detik

PEMBAHASAN:

Misalkan panjang rusuknya adalah

s

dan volume kubus

(V) = s^{3}

Laju bertambahnya panjang terhadap waktu $= \frac{d s}{d t} = 7$

Laju bertambahnya Volume terhadap waktu :

$\frac{d V}{d t} = \frac{d V}{d s} \cdot \frac{d s}{d t}$

$\frac{d V}{d t} = 3 s^{2} \cdot 7 = 21 s^{2}$

untuk $s = 15$

, maka :

$\frac{d V}{d t} = 21 {(15)}^{2} = 4.725$

cm $^{3}$ /detik. (d)

9. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam dengan biaya per jam $(4 x - 800 + \frac{120}{x})$ ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu...
A. 40 jam
B. 60 jam
C. 100 jam
D. 120 jam
E. 150 jam

Pembahasan :
Biaya per jam : 4x − 800 + $\frac{120}{x}$
Biaya untuk x jam :
B(x) = (4x − 800 + $\frac{120}{x}$ )x
B(x) = 4x² − 800x + 120

Biaya akan minimum jika :
B'(x) = 0
8x − 800 = 0
⇒ x = 100

Jadi, waktu yang diperlukan agar biaya minimum adalah 100 jam.

Jawaban : C

10. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus $x = f (t) = \sqrt{3 t + 1}$ (s dalam meter dan t dalam detik). Kecepatan partikel pada saat t = 8 detik adalah...
A. $\frac{3}{10}$ m/detik
B. $\frac{3}{5}$ m/detik
C. $\frac{3}{2}$ m/detik

D. 3 m/detik

E. 5 m/detik

Pembahasan :
f(t) =

\sqrt{3 t + 1}

⇒ f '(t) =

\frac{3}{2 \sqrt{3 t + 1}}

v(t) =

\frac{d f}{d t}

v(t) = f '(t) =

\frac{3}{2 \sqrt{3 t + 1}}

v(8) =

\frac{3}{2 \sqrt{3.8 + 1}}

v(8) =

\frac{3}{10}

Jadi, kecepatan partikel pada t = 8 adalah $\frac{3}{10}$

m/detik (A)

$2$

MATERI TRIGONOMETRI DASAR

Total Tayangan Halaman

Senin, 15 Maret 2021

SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

PENDAPAT BELAJAR DARING

Laporkan Penyalahgunaan