SOAL CERITA MENENTUKAN NILAI OPTIMUM PROGRAM LINEAR

ASSALAMUALAIKUM WR.WB SAYA ALIYA RAHMAH XI IPS 2 AKAN MEMBERIKAN CONTOH SOALCERITA MENENTUKAN NILAI OPTIMUM DAN PEMBAHASANNYA.

 

CONTOH SOAL 

 

1. Nilai optimum dari z = -3x + 2y yang memenuhi syarat 3x + y ≤ 9, 5x + 4y ≥ 20, x ≥ 0 adalah ...
a.    10
b.    14
c.    18
d.    20
e.    24
PEMBAHASAN:
-    3x + y ≤ 9
Jika x = 0, maka y = 9 .... (0, 9)
Jika y = 0, maka x = 3 .... (3, 0)
-    5x + 4y ≥ 20
Jika x = 0, maka y =5 ..... (0, 5)
Jika y = 0, maka x = 4 .... (4, 0)
Kita cari daerah hasilya dengan menggambarnya:

Kita cari dulu titik potong kedua garis di titik B:

subtitusikan x = 16/7 dalam 3x + y = 9
3.16/7 + y = 9
48/7 + y = 9
y = 9 – 48/7
y = 63/7 – 48/7
y = 15/7 ... titik B (16/7, 15/7)
Kita cari nilai dari fungsi obyektif  z = -3x + 2y:
-    Pada titik A (0, 9)
      -3x + 2y = -3.0 + 2.9 = 18
-    Pada titik B (16/7, 15/7)
     -3x + 2y = -3.16/7 + 2.15/7 = -48/7 + 30/7 = -18/7
-    Pada titik C (0, 5)
     -3x + 2y = -3.0 + 2.2 = 4
Jadi, nilai optimumnya adalah 18.
JAWABAN: C

2.  Dalam sistem pertidaksamaan: 2y ≥ x : y ≤ 2x; 2y + x ≤ 20; x + y ≥ 9. Nilai optimum untuk 3y – x dicapai di titik ...

a.    P
b.    Q
c.    R
d.    S
e.    T
PEMBAHASAN:
Kita cari dulu titik potong-titik potong pada soal di atas:
-    Titik P
P adalah perpotongan dari x + y = 9 dan 2y = x, maka subtitusikan saja:
2y + y = 9
3y = 9
y = 3 maka x = 2y = 6 ... titik P (6, 3)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.3 – 6 = 3
-    Titik Q
Q adalah perpotongan dari x + y = 9 dan y = 2x, maka subtitusikan saja:
x + 2x = 9
3x = 9
x =3 dan y = 2x = 6 ... titik Q(3, 6)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.6 – 3 = 15
-    Titik R
R adalah perpotongan dari 2y + x = 20 dan y = 2x, maka subtitusikan saja:
2.2x + x = 20
5x = 20
x = 4 dan y = 2x = 8 ... titik R (4, 8)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.8 – 4 = 20
-    Titik S
S adalah perpotongan dari 2y + x = 20 dan 2y = x, maka subtitusikan saja:
x + x = 20
2x = 20
x = 10 dan 2y = x, maka y = 5 ... titik S (10, 5)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.5 – 10 = 5
Maka, nilai optimumnya adalah 20 di titik R
JAWABAN: C

3. Fungsi F = 10x + 15y dengan syarat x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 800, y ≤ 600, dan x + y ≤ 1000 mempunyai nilai maksimum ...
a.    9.000
b.    11.000
c.    13.000
d.    15.000
e.    16.000
PEMBAHASAN:
-    x = 800
-    y = 600
-    x + y = 1000
     jika x = 0, maka y = 1000 ... (0, 1000)
     jika y = 0, maka x= 1000 ... (1000, 0)
Yuk, kita gambar daerah hasilnya:

-    titik A adalah titik potong antara y = 600 dan x + y = 1000, maka titik A adalah:
x + 600 = 1000
x = 400 ... titik A (400, 600)
Maka nilai obyektif  F = 10x + 15y adalah: 10.400 + 15.600 = 4000 + 9000 = 13.000
-    titik B (0, 600)
Maka nilai obyektif  F = 10x + 15y adalah: 10.0 + 15.600 = 0 + 9000 = 9.000
-    titik C adalah titi potong antara x = 800 dan x + y = 1000, maka titik C adalah:
800 + y = 1000
y = 200 .... titik C (800, 200)
Maka nilai obyektif  F = 10x + 15y adalah: 10.800 + 15.200 = 8000 + 3000 = 11.000
-    titik D (800, 0)
Maka nilai obyektif  F = 10x + 15y adalah: 10.800 + 15.0 = 8000 + 0 = 8.000
Sehingga nilai maksimumnya adalah 13.000
JAWABAN: C

4. Nilai minimal dari z = 3x + 6y yang memenuhi syarat;4x + y ≥ 20, x + y ≤ 20, x + y ≥ 10, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah ...
a.    50
b.    40
c.    30
d.    20
e.    10
PEMBAHASAN:
-    4x + y = 20
Jika x = 0, maka y = 20 ... (0, 20)
Jika y = 0, maka x = 5 .... (5, 0)
-    x + y = 20
jika x = 0, maka y = 20... (0, 20)
jika y = 0, maka x = 20 ... (20, 0)
-     x + y = 10
Jika x = 0, maka y = 10 ... (0, 10)
Jika y = 0, maka x = 10 ... (10, 0)
Yuk gambar lagi untuk mengetahui HP-nya:

-    Titik A (0, 20)
Maka nilai dari fungsi obyektif  z = 3x + 6y adalah: 3.0 + 6.20 = 120
-    Titik B adalah titik potong antara 4x + y = 20 dan x + y = 10, maka titik B adalah:

     10/3 + y = 10
     y = 10 – 10/3
     y = 30/3 – 10/3
     y = 20/3 ... titik B (10/3, 20/3)
Maka nilai dari fungsi obyektif  z = 3x + 6y adalah: 3.10/3 + 6.20/3 = 10 + 40 = 50
-    Titik C (20, 0)
Maka nilai dari fungsi obyektif  z = 3x + 6y adalah: 3.20 + 6.0 = 60
-    Titik D (10, 0)
Maka nilai dari fungsi obyektif  z = 3x + 6y adalah: 3.10 + 6.0 = 30
Sehingga, nilai minimalnya adalah 30
JAWABAN: C

5.  Disebuah kantin, Ani dan kawan-kawan memayar tidak lebih dari Rp35.000 untuk 4 mangkok bakso dan 6 gelas es yang dipesannya, sedang Adi dan kawan-kawan membayar tidak lebih dari Rp50.000,-  untuk 8 mangkok bakso dan 4 gelas es. Jika kita memesan 5 mangkok bakso dan 3 gelas es, maka maksimum yang harus kita bayar adalah ...
a.    Rp27.500,-
b.    Rp30.000,-
c.    Rp32.500,-
d.    Rp35.000,-
e.    Rp37.500,-
PEMBAHASAN:
Harga 1 mangkok bakso = x
Harga 1 gelas es = y
Kalimat matematika untuk soal di atas adalah:
4x + 6y ≤ 35000
8x + 4y ≤ 50000
x ≥ 0
y ≥ 0
Karena bakso dan gelas tidak mungkin 0, maka kita langsung saja mencari titik potong antara garis 4x + 6y = 35000 dan 8x + 4y = 50000:

    8x + 4(2500) = 50.000
    8x + 10.000 = 50.000
    8x = 40.000
     x = 5.000
Maka, harga maksimum untuk 1 mangkok bakso = Rp5.000,- dan harga maksimum untuk 1 gelas es adalah Rp2.500
Jika kita memesan 5 mangkok bakso dan 3 gelas es, maka maksimum yang harus kita bayar adalah: 5(5.000) + 3(2.500) = 25.000 + 7.500 = 32.500
JAWABAN: C

6. Tempat parkir seluas 600 m2 hanya mampu menampung bus dan mobil sebanyak 58 buah. Tiap mobil memerlukan tempat 6 m2 dan bus 24 m2. Biaya parkir tiap mobil Rp5.000,- dan bus Rp7.000,-. Jika tempat parkir penuh, hasil dari biaya parkir paling banyak adalah ...
a.    Rp197.500,-
b.    Rp220.000,-
c.    Rp290.000,-
d.    Rp325.000,-
e.    Rp500.000,-
PEMBAHASAN:
Mobil: x
Bus: y
Mampu menampung bus dan mobil sebanyak 58 buah = x + y ≤ 58
Tiap mobil memerlukan tempat 6 m2 dan bus 24 m2. Tempat parkir seluas 600 m2 = 6x + 24y ≤ 600
Fungsi obyektif = Biaya parkir tiap mobil Rp5.000,- dan bus Rp7.000,- = 5000x + 7000y
Mari kita kerjakan model matematika di atas:
-    x + y = 58
Jika x = 0,maka y = 58 ... (0, 58)
Jika y = 0, maka x = 58 ... (58, 0)
-    6x + 24y = 600
Jika x = 0, maka y = 25 ... (0, 25)
Jika y = 0, maka x = 100 ...(100, 0)
Yuk, kita gambar untuk mengetahui daerah hasilnya:

-    Titik A (0, 25)
Maka nilai obyektif untuk 5000x + 7000y = 5000(0) + 7000(25) = 187.500
-    Titik B adalah titik potong antara garis x + y = 58 dan 6x + 24y = 600, maka titik B adalah:

    14 + y = 58
    y = 44 ... titik B (14, 44)
Maka nilai obyektif untuk 5000x + 7000y = 5000(14) + 7000(44) = 220.000 + 105.000 = 325.000
-     Titik C (58, 0)
Maka nilai obyektif untuk 5000x + 7000y = 5000(58) + 7000(0) = 290.000
Jadi, hasil paling banyak adalah Rp325.000
JAWABAN: D

7.  Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m2 dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp6.000.000,-/ unit dan tipe B adalah Rp4.000.000,-/ unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah ...
a.    Rp550.000.000,-
b.    Rp600.000.000,-
c.    Rp700.000.000,-
d.    Rp800.000.000,-
e.    Rp900.000.000,-
PEMBAHASAN:
Rumah tipe A = x
Rumah tipe B = y
100x + 75y ≤ 10.000 atau 4x + 3y ≤ 400
x + y ≤ 125
fungsi obyektif = 6.000.000x + 4.000.000y
Kita gambar grafiknya yuk:
-    4x + 3y = 400
Jika x = 0, maka y = 400/3 ... (0, 400/3)
Jika y = 0, maka x = 100 ... (100, 0)
-    x + y = 125
jika x = 0, maka y = 125 ... (0, 125)
jika y = 0, maka x = 125 ... (125, 0)

-    titik A (0, 125)
Maka nilai fungsi obyektif 6.000.000x + 4.000.000y = 6.000.000(0) + 4.000.000(125) = 500.000.000
-    titik B adalah titik potong 4x + 3y = 400 dan x + y = 125, maka titik B adalah:

    x + 100 = 125
    x = 25 ... titik B (25, 100)
Maka nilai fungsi obyektif 6.000.000x + 4.000.000y = 6.000.000(25) + 4.000.000(100) = 150.000.000 + 400.000.000 = 550.000.000
-     titik C (100, 0)
Maka nilai fungsi obyektif 6.000.000x + 4.000.000y = 6.000.000(100) + 4.000.000(0) = 600.000.000
Jadi, keuntungan maksimumnya 600.000.000
JAWABAN: B

8. Seorang peternak ikan hias memiliki 20 kolam untuk memelihara ikan koi dan ikan koki. Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebanyak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor. Jika banyak kolam berisi ikan koki adalah x, dan banyak kolam berisi ikan koi y, maka model matematikanya adalah ...
a.    x + y ≥ 20; 3x + 2y ≤ 50; x ≥ 0; y ≥ 0
b.    x + y ≥ 20; 2x + 3y ≤ 50; x ≥ 0; y ≥ 0
c.    x + y ≤ 20; 2x + 3y ≤ 50; x ≥ 0; y ≥ 0
d.    x + y ≤ 20; 2x + 3y ≥ 50; x ≥ 0; y ≥ 0
e.    x + y ≤ 20; 3x + 2y ≥ 50; x ≥ 0; y ≥ 0
PEMBAHASAN:
Ikan koki = x
Ikan koi = y
-    20 kolam untuk memelihara ikan koi dan ikan koki = x + y ≤ 20
-    Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebanyak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor = 24x + 36y ≤ 600 atau 2x + 3y ≤ 50
-    x ≥ 0
-    y ≥ 0
JAWABAN: C

9.Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.

Pembahasan

Diketahui:

Dengan syarat:

• Kapasitas tempat: x + y ≤ 400
• Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000
• x ≥ 0
• y ≥ 0

Diagramnya:

Titik ekstrim:

• A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel
• C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang
• dengan metode eliminasi 2 persamaan diatas diperoleh:

Sehingga jumlah masimum:

• Apel: 150 kg
• Pisang: 250 kg    

10. Seorang pedagang minuman menjual dua jenis minuman ringan pada suatu tempat yang dapat menampung 500 botol minuman. Harga beli minuman jenis A dan jenis B masing-masing Rp. 2000 dan Rp 4000 per botol. Jika ia memiliki modal Rp. 1.600.000 serta akan memperoleh laba perbuah Rp. 800 untuk minuman jenis A dan Rp. 600 untuk minuman jenis B, maka berapakah banyaknya minuman minuman jenis A dan B agar diperoleh laba maksimum ?
pembahasan;
Misalkan
x = banyaknya minuman jenis A
y = banyaknya minuman jenis B
maka dapat disusun kendala modal dan kapasitas kios sebagai berikut:
x + y ≤ 500
2000x + 4000y ≤ 1.600.000
x ≥ 0
y ≥ 0
Jika disederhanakan menjadi :
x + y ≤ 500
x + 2y ≤ 800
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi laba : f(x, y) = 800x + 600y
Selanjutnya akan dilukis grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas

Titik A koordinatnya adalah A(0, 400)
Titik C koordinatnya adalah C(500, 0)
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :

karena x + y = 500 maka x + 300 = 500, sehingga x = 200
Jadi koordinat titik B adalah B(200, 300)
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 800x + 600y, sehingga diperoleh :
A(0, 400)     → f(A) = 800(0) + 600(400) = 240.000
B(200, 300) → f(B) = 800(200) + 600(300) = 360.000
C(500, 0)     → f(C) = 800(500) + 600(0) = 400.000
Jadi keuntungan maksimum yakni sebesar Rp. 400.000 diperoleh jika dijual minuman jenis A saja sebanyak 500 botol

daftar pustaka

 https://www.ajarhitung.com/2017/02/contoh-soal-dan-pembahasan-tentang_7.html