LUAS VOLUME DAERAH BERKAITAN DENGAN INTEGRAL+CONTOH SOAL

NAMA: ALIYA RAHMAH

KELAS: XI IPS 2

ABSEN: 04

LUAS VOLUME DAERAH BERKAITAN DENGAN INTEGRAL+CONTOH SOAL

LUAS DAERAH

Misalkan y = fx

berharga positif pada daerah latexa≤x≤b dan kontinu pada daerah tersebut, maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = fx

dengan sumbu x dari x = a ke x = b adalah

Bila y = fx

berharga negatif pada daerah latexa≤x≤b maka luas daerah yang dibatasi oleh y = fx

dengan semubu x dari x = a ke x = b adalah

Misalkan latexf(x)≥g(x)

pada daerah latexa≤x≤b maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = fx dan y = gx

adalah

Contoh 1 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x² + 2x dengan sumbu x

Jawab :

Contoh 2 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x² dengan garis y = x + 8

Jawab :

 

y = x² ……… 1

y = x + 6 ……… 2

Dari 1

dan 2

didapat

x² = x + 6

x² – x – 6 = 0

x₁ = 3 ; x₂ = 2

Luas daerah,

latexL=∫(x+6−x2)dx=12x2+6x−13x3∣3−2

latex=(92+18−9)−(2−12+83)=2112

ISI BENDA PUTAR (VOLUME)

Misalkan y = fx

terdefinisi dan integrabel pada daerah latexa≤x≤b , bila daerah yang dibatasi oleh y = fx

dan sumbu x dari x = a ke x = b diputar mengelilingi sumbu x, maka isi benda putar yang terjadi adalah :

Contoh 1:

Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x² dari x = 0 ke x =1 diputar mengeliling sumbu x

Jawab :

Isi benda putar yang terjadi

Contoh 2 :

Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x² dan garis y = x + 2 diputar mengeliling sumbu x

Jawab :

Batas integral

latexy=x2

latexy=x+2

Sehingga :

latexx2=x+2

CONTOH SOAL 

1. Luas daerah yang dibatasi oleh y=3x, x=2, dan y=0adalah…satuan. 

A. 6 

B. 8

C.10

D. 12

E. 4

PEMBAHASAN: 

Perhatikan gambar berikut :

Daerah yang diarsir merupakan daerah yang memenuhi y=3x

, x=2, dan y=0

L=∫203xdx=[32x2]20=32(2)2−32(0)2=6−0=6

Jadi luas daerahnya adalah 6 satuan luas

2.  Volume Benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi kurva $y=2x-x^2$, sumbu-x, $0\le x\le 1$, diputar 360^o mengelilingi sumbu-x adalah... satuan volume.

Jawab :
Titik potong sumbu-x  ⇒ y = 0
2x − x² = 0
x(2 − x) = 0
x = 0 atau x = 2


V = π${\int }_0^1$y² dx
V = π${\int }_0^1$(2x − x²)² dx
V = π${\int }_0^1$(x⁴ − 4x³ + 4x²) dx
V = π${\left[\frac{1}{5}{x}^5-x^4+\frac{4}{3}{x}^3\right]}_0^1$
V = $\frac{8}{15}$π

3. Volume benda putar yang terjadi jika daerah diantara kurva $y=\sqrt{x}$ dan $y=\frac{1}{2}x$, diputar 360^o mengelilingi sumbu-x adalah... satuan volume.

Jawab :
Misalkan :
y₁ = √x
y₂ = $\frac{1}{2}$x

Titik potong kurva :
y₁ = y₂
√x = $\frac{1}{2}$x  (kuadratkan)
x = $\frac{1}{4}$x²   (kali 4)
4x = x²
4x − x² = 0
x (4 − x) = 0
x = 0 atau x = 4

V = π${\int }_0^4$(y₁² − y₂²) dx
V = π${\int }_0^4\left\{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}x\right)}^2\right\}dx$
V = π${\int }_0^4$(x − $\frac{1}{4}$x²) dx
V = π${\left[\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{12}{x}^3\right]}_0^4$
V = $\frac{8}{3}$π

4. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva $y^2=2x+4$ dan sumbu-y dikuadran kedua, diputar 360^o mengelilingi sumbu-y adalah ... satuan volume.

Jawab :
y² = 2x + 4
⇒ 2x = y² − 4
⇒ x = $\frac{1}{2}$y² − 2

Titik potong kurva dan sumbu-y  ⇒ x = 0
$\frac{1}{2}$y² − 2 = 0 (kali 2)
y² − 4 = 0
(y + 2)(y − 2) = 0
y = −2 atau y = 2

V = π${\int }_0^2$ x² dy
V = π${\int }_0^2$ ($\frac{1}{2}$y² − 2)² dy
V = π${\int }_0^2$ ($\frac{1}{4}$y⁴ − 2y² + 4) dy
V = π${\left[\frac{1}{20}{y}^5-\frac{2}{3}{y}^3+4y\right]}_0^2$
V = $\frac{64}{15}$π

5. Volume benda putar yang terbentuk bila daerah antara kurva $y=x^2-4$ dan $y=2x-4$ diputar 360^o mengelilingi sumbu-y adalah ... satuan volume.

Jawab :
y =  x² − 4
⇒ x² = y + 4

y = 2x − 4
⇒ 2x = y + 4
⇒ x = $\frac{1}{2}$y + 2
⇒ x² = ($\frac{1}{2}$y + 2)²

Misalkan :
x₁² = y + 4
x₂² = ($\frac{1}{2}$y + 2)²

Titik potong kurva :
x₁² = x₂²
y + 4 = ($\frac{1}{2}$y + 2)²
y + 4 = $\frac{1}{4}$y² + 2y + 4
$\frac{1}{4}$y² + y = 0  (kali 4)
y² + 4y = 0
y(y + 4) = 0
y = 0 atau y = −4

V = π${\int }_{-4}^0$(x₁² − x₂²) dx
V = π${\int }_{-4}^0${(y + 4) − ($\frac{1}{4}$y² + 2y + 4)} dx
V = π${\int }_{-4}^0$($-\frac{1}{4}$y² − y ) dx
V = π${\left[-\frac{1}{12}{y}^3-\frac{1}{2}{y}^2\right]}_{-4}^0$
V = $\frac{8}{3}$π