NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Nama: Aliya Rahmah

Kelas: XI IPS 2

Absen: 04

PENGERTIAN NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN TURUN

Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi diam (stasioner) merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut

A. Jika $f^{\prime }\left(x\right)$bertanda positif, atau $f^{\prime }\left(x\right)>0$maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik).

B. Jika $f^{\prime }\left(x\right)$bertanda negatif, atau $f^{\prime }\left(x\right)<0$ maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun).

c. jika $f^{\prime }\left(x\right)$

bertanda netral, atau $f^{\prime }\left(x\right)=0$, maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam). 

Kondisi suatu fungsi $y=f\left(x\right)$ dalam keadaan naik, turun, atau diam
Diberikan fungsi $y=f\left(x\right)$ dalam interval $I$ dengan $f\left(x\right)$ diferensiabel (dapat diturunkan) pada setiap $x$ di dalam interval $I$

$\mathrm{1.\; Jika\; f\prime (x)>0,\; maka\; kurva\; f(x)\; akan\; selalu\; naik\; pada\; interval\; I.}$

$\mathrm{2.}$$\mathrm{Jika\; f\prime (x)<0,\; maka\; kurva\; f(x)\; akan\; selalu\; turun\; pada\; interval\; I.}$

$\mathrm{3.}$$\mathrm{Jika\; f\prime (x)=0,\; maka\; kurva\; f(x)\; stasioner\; (tetap/diam)\; pada\; interval\; I.}$

$\mathrm{4.}$$\mathrm{Jika\; f\prime (x)\ge 0,\; maka\; kurva\; f(x)\; tidak\; pernah\; turun\; pada\; interval\; I.}$

$\mathrm{5.}$$\mathrm{Jika\; f\prime (x)\le 0,\; maka\; kurva\; f(x)\; tidak\; pernah\; naik\; pada\; interval\; I.}$

$\mathrm{soal-\; soal}$

$\mathrm{1.}$$\mathrm{Diberikan\; fungsi\; g(x)=2x3-9x2+12x.\; Interval\; x\; yang\; memenuhi\; kurva\; fungsi\; g(x)\; selalu\; naik\; adalah\; \cdots \cdot \; A.\; x<-2\; atau\; x>-1\; B.\; x<-1\; atau\; x>2\; C.\; x<1\; atau\; x>2\; D.\; 1<x<2\; E.\; -1<x<2}$

Pembahasan

Diketahui $g\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x$

sehingga turunan pertamanya adalah $g^{\prime }\left(x\right)=6x^2-18x+12$.
Kurva $g\left(x\right)$ selalu naik jika diberi syarat $g^{\prime }\left(x\right)>0$.
$\begin{array}{cc}6x^2-18x+12& >0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}6\\ x^2-3x+2& >0\\ (x-2)(x-1)& >0\\ \therefore x<1\text{atau}x& >2\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik adalah $x<1\text{atau}x>2$

(Jawaban C)

 

2. Interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$ selalu turun adalah $\cdots \cdot$
A. $-1<x<3$
B. $0<x<3$
C. $1<x<3$
D. $x<1$ atau $x>3$
E. $x<0$ atau $x>3$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$

sehingga turunan pertamanya adalah $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12x+9$.
Kurva $f\left(x\right)$ selalu turun jika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)<0$.
$\begin{array}{cc}3x^2-12x+9& <0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-4x+3& <0\\ (x-3)(x-1)& <0\\ \therefore 1<x& <3\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)$ selalu turun adalah $1<x<3$
(Jawaban C)

 

3. Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi f(x)=x3−12x!

a. (-2 dan 2) (-2, 16)

b. (3 dan 1) (-3, 16)

c. (6 dan 2) (3, 4)

d. (-2 dan -2) ( 2, 3)
 

pembahasan:
f(x)=x3−12x
f′(x)=3x2−12
Nilai stasioner f(x) diperoleh jika f′(x)=0
f′(x)=0
3x2−12=0
3(x+2)(x−2)=0
x=−2 atau x=2

Nilai stasionernya
Untuk x=−2, →f(−2)=(−2)3−12(−2)=−8+24=16
Untuk x=2, →f(2)=(2)3−12(2)=8−24=−16
Jadi, nilai stasioner fungsi f(x)=x3−12x adalah -2 dan 2 serta titik stasionernya adalah (-2, 16) dan (2, -16) jawaban A

4. Nilai stasioner dari fungsi y = x³ - x² - 8x diperoleh pada ...
A. x = 2 dan x = - 4/3
B. x = 4/3 dan x = 2
C. x = 4/3 dan x = - 2
D. x = 2/3 dan x = - 4
E. x = 4 dan x = - 2/3

Pembahasan
Syarat fungsi stasioner adalah F¹(x) = 0, sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas:
y¹ = 3x² - 2x - 8 = 0 (faktorkan)
       (3x + 4) (x - 2) = 0
        x = - 4/3 dan x = 2
Jawaban: A

5. Grafik fungsi y = 1 / (x² + 1) akan turun pada interval...
A. x < 0
B. x > 0
C. x < 2
D. x > 2
E. x < - 2

Pembahasan
Gunakan syaran fungsi turun F¹(x) < 0, jadi kita turunkan fungsi y:
Misal:
U = 1 maka U¹ = 0
V = x² + 1 maka V¹ = 2x
Jadi y¹ = (U¹ V - U . V¹) / V²
y¹ = (0 . x² + 1 - 1 . 2x) / (x² + 1)²
y¹ = - 2x / (x² + 1)² < 0 (penyebut diabaikan saja)
- 2x < 0
x < 0
Jawaban: A

6. Grafik fungsi y = x² + 4x + 1 naik pada interval...
A.x ≥ - 2
B. x > - 2
C. x ≤ - 2
D. x < - 2
E. x > 2

Pembahasan
Fungsi naik jika F¹(x) > 0, sehingga kita turunkan fungsi y = x² + 4x + 1
y¹ = 2x + 4 > 0
2x > -4
x > - 2
Jawaban: B

7. Nilai-nilai $x$ dari fungsi $y=\frac{x^2+3}{x-1}$ yang mengakibatkan kurva fungsi itu selalu turun adalah $\cdots \cdot$
A. $x<-1$ atau $x>3$
B. $-1<x<3$
C. $x<1$ atau $x>3$
D. $-1<x<1$ atau $1<x<3$
E. $-1<x<1$ atau $x>3$

Pembahasan

Diketahui $y=\frac{x^2+3}{x-1}$Turunan pertamanya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan hasil bagi.Misalkan $u=x^2+3\Rightarrow u^{\prime }=2x$ dan $v=x-1\Rightarrow v^{\prime }=1$, sehingga

$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\\ & =\frac{2x(x-1)-(x^2+3)\left(1\right)}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{2x^2-2x-x^2-3)}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}\end{array}$
Grafik fungsi tersebut selalu turun jika diberi syarat $y^{\prime }<0$, yaitu
$\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}<0$.
Dari pertidaksamaan di atas, diketahui bahwa penyebut dipastikan bernilai positif untuk $x\ne 1$, sehingga yang memengaruhi tanda hanya pembilangnya saja.
Agar keseluruhan bernilai negatif, pembilangnya harus dibuat negatif.
$\begin{array}{cc}(x-3)(x+1)& <0\\ \therefore -1<x& <3\end{array}$
Karena $x\ne 1$ (berakibat penyebut bernilai $0$), maka kita peroleh bahwa interval $x$ yang memenuhi adalah seluruh bilangan di antara $-1$ dan $3$, kecuali $1$, kita tulis
$-1<x<1\text{atau}1<x<3$
(Jawaban D)

$\mathrm{8.}$$\mathrm{Grafik\; fungsi\; f(x)=ax3+x2+5\; akan\; selalu\; naik\; dalam\; interval\; 0<x<2.\; Nilai\; a\; adalah\; \cdots \cdot \; A.\; -3 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; C.\; 13 \; \; \; \; \; \; \; \; E.\; 3\; B.\; -13 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; D.\; 1}$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=a{x}^3+x^2+5$

dan $f\left(x\right)$ selalu naik di $0<x<2$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{cccc}(x-0)(x-2)& <0& & \\ x(x-2)& <0& & \\ x^2-2x& <0& & (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $f\left(x\right)$ adalah $f^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2x$.
Grafik fungsi $f\left(x\right)$ selalu naik jika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)>0$.
$\begin{array}{cccc}3a{x}^2+2x& >0& & \\ \text{Kedua ruas dikali}& \text{dengan}-1& & \\ -3a{x}^2-2x& <0& & (\cdots 2)\end{array}$
Kaitkan pertidaksamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$\{\begin{array}{cc}{x}^2-2x& <0\\ -3a{x}^2-2x& <0\end{array}$
Diperoleh $-3a=1\Rightarrow a=-\frac{1}{3}$
Jadi, Nilai $a$ yang membuat $f\left(x\right)$ selalu naik pada interval tersebut adalah $-\frac{1}{3}$

 (Jawaban B)

9. Diketahui fungsi f(x) = x³ + 3x² – 45x – 15. Fungsi f turun pada interval....

a. x < –5 atau x > 3     d. – 3 < x < 5  

b. x < –3 atau x > 3     e. –5 < x < –3

c. –5 < x < 3

Jawab

f(x) = x³ + 3x² – 45x – 15, turun jika  

f’(x) < 0

3x² + 6x – 45 < 0

3(x² + 2x – 15) < 0

3(x + 5)(x – 3) < 0

  x = –5 atau x = 3

Garis bilangan

++++ (–5) ------- (3) +++++

Karena kurang dari nol, maka ambil daerah yang negatif yaitu

–5 < x < 3

Jawaban C 

 

10. Fungsi f(x) = x³ – 3x² – 15 turun untuk semua x yang memenuhi …

a. x > 0                   d. –2 < x < 0        

b. x < –2                 e. 0 < x < 2                

c. x < 0 atau x > 2

Jawab

f(x) = x³ – 3x² – 15, turun jika

f’(x) < 0

3x² – 6x < 0

3x (x – 2) < 0

x = 0 atau x = 2

Garis bilangan

++++ (0) ------ (2) +++++

Karena kurang dari nol, maka ambil daerah yang negatif yaitu

0 < x < 2

Jawaban E

 

$\mathrm{DAFTAR\; PUSTAKA}$

$\mathrm{https://mathcyber1997.com/materi-soal-dan-pembahasan-fungsi-naik-dan-fungsi-turun/}$

$\mathrm{https://www.proprofs.com/quiz-school/story.php?title=soal-soal-fungsi-naik-fungsi-turundan-nilai-stasioner}$