MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA

Nama: Aliya Rahmah

Kelas: XI IPS 2

absen: 04

GRAFIK FUNGSI TURUNAN

Salah satu penerapan dari turunan fungsi adalah untuk menggambar sketsa grafik fungsi aljabar.

Langkah-langkah untuk menggambar grafik fungsi y = f(x) adalah sbb :

1. Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat , yaitu :

Koordinat titik potong dengan sumbu  x , diperoleh jika y = 0.

Koordinat titik potong dengan sumbu y , diperoleh jika x = 0.

2. Menentukan letak titik stasioner, dengan syarat f ’ (x)=0.

3. Menentukan koordinat titik stasioner dan jenisnya.

4. Menentukan interval dimana fungsi f(x)naik atau turun .

5. Menghubungkan titik-titik yang diperoleh, sehingga diperoleh sebuah kurva.

 

SOAL-SOAL GRAFIK FUNGSI TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA 

1. Diketahui grafik kurva $y=f\left(x\right)$seperti pada gambar di bawah.
 

Jika $h\left(x\right)=(f\circ f)\left(x\right)$ dan $h^{\prime }\left(x\right)$ menyatakan turunan pertama dari $h\left(x\right)$, maka nilai $h^{\prime }(-2)=\cdots \cdot$

A. $-2$                   C. $0$                  E. $2$
B. $-1$                   D. $1$

$\mathrm{PEMBAHASAN:}$

$\mathrm{Berdasarkan\; grafik\; f(x),\; tampak\; bahwa\; f(-2)=-2.\; Di\; titik\; (-2,-2),\; terdapat\; garis\; singgung\; dengan\; kemiringan\; (gradien)\; m=-22=-1.\; Ini\; berarti\; f\prime (-2)=-1\; karena\; turunan\; pertama\; fungsi\; di\; suatu\; titik\; merupakan\; gradien\; garis\; singgung\; grafik\; fungsi\; di\; titik\; tersebut.\; Oleh\; karena\; itu,\; berdasarkan\; Aturan\; Rantai,\; kita\; peroleh\; h(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x))⟹h\prime (x)=f\prime (f(x))\cdot f\prime (x)h\prime (-2)=f\prime (f(-2))\cdot f\prime (-2)=f\prime (-2)\cdot f\prime (-2)=-1\cdot (-1)=1\; Jadi,\; nilai\; dari\; h\prime (-2)=1\; (Jawaban\; D)}$

$2.$$\mathrm{Perhatikan\; grafik\; fungsi\; f(x)\; dan\; g(x)\; berikut.}$

$\mathrm{Apabila\; h(x)=f(x)g(x),\; maka\; nilai\; dari\; h\prime (1)=\cdots \cdot \; A.\; -6 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; C.\; -2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; E.\; 2\; B.\; -3 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; D.\; 1}$

$\mathrm{PEMBAHASAN:}$

$\mathrm{Grafik\; fungsi\; f(x)\; yang\; memuat\; x=1\; adalah\; garis\; lurus\; yang\; melalui\; titik\; (0,8)\; dan\; (4,0).\; Persamaan\; garisnya\; adalah\; 8x+4y=8\cdot 42x+y=8f(x)=y=-2x+8\; Untuk\; x=1,\; diperoleh\; f(1)=-2(1)+8=6.\; Turunan\; pertama\; f(x)\; adalah\; f\prime (x)=-2\; sehingga\; f\prime (1)=-2.\; Grafik\; fungsi\; g(x)\; yang\; memuat\; x=1\; adalah\; garis\; lurus\; yang\; melalui\; titik\; (0,0)\; dan\; (6,8).\; Persamaan\; garisnya\; adalah\; g(x)=y=86x=43x\; Untuk\; x=1,\; diperoleh\; g(1)=43.\; Turunan\; pertama\; g(x)\; adalah\; g\prime (x)=43\; sehingga\; g\prime (1)=43.\; Diketahui\; h(x)=f(x)g(x).\; Dengan\; menggunakan\; aturan\; hasil\; bagi,\; diperoleh\; turunan\; pertama\; h(x),\; yaitu\; h\prime (x)=f\prime (x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g\prime (x)(g(x))2}$

$\mathrm{Substitusi\; x=1.}$

$3.$Buatlah denah grafik fungsi f(x) = x³ + 3x²

Pembahasan :

Langkah 1: Menganalisis f(x)

a. Fungsi f(x) = x³ + 3x² terdefinisi untuk semua bilangan real.

Jadi, tempat asal f(x) yakni {x | x ϵ R}.

b. Daerah nilai f(x) = {f(x) | f(x) ϵ R}.

c. Titik potong dengan sumbu koordinat.

• Titik potong dengan sumbu-y.

Titik potong dengan sumbu-y diperoleh untuk x = 0

f(x) = x³ + 3x²

f(0) = 0

Fungsi f(x) memotong sumbu-y di y = 0.

• Titik potong dengan sumbu-x.

Titik potong dengan sumbu-x diperoleh untuk y = 0.

f(x) = x³ + 3x²

y = f(x)

x³ + 3x² = 0

x² (x + 3) = 0

x = 0 atau x = –3

Fungsi f(x) memotong sumbu-x di x = 0 atau x = –3.

Langkah 2: Menganalisis f '(x)

f(x) = x³ + 3x²

f '(x) = 3x² + 6x

a. Titik stasioner diperoleh untuk f '(x) = 0.

f '(x) = 0 ↔ 3x² + 6x = 0

↔ 3x (x + 2) = 0 ↔ x = 0 atau x = –2

Titik stasioner diperoleh dengan menyubstitusikan x = 0 dan x = –2 pada fungsi f(x) = x³ + 3x² sehingga diperoleh :

f(0) = 0 dan f(–2) = 4

Jadi, (0, 0) dan (–2,4) yakni titik-titik stasioner.

b. Interval fungsi naik diperoleh bila f '(x) > 0 dan interval fungsi turun diperoleh bila f '(x) < 0. Interval-interval tersebut diperoleh dengan memilih nilai-nilai x yang disubstitusikan pada fungsi f ‘(x). Substitusikan x = –3 untuk x < –2, x = –1 untuk –2 < x < 0 dan x = 1 untuk x > 0 pada fungsi  f '(x) = 3x2 + 6x sehingga diperoleh :

f '(–3) = 9 > 0, f '(–1) = –3

f '(1) = 9 > 0

yang sanggup digambarkan sebagai diagram di bawah ini :

f '(x) f '(–3) = 9 f '(–1) = –3 f '(1) = 9

Dari diagram tanda tersebut diperoleh interval berikut.

• Interval fungsi naik pada x < –2 dan x > 0.

• Interval fungsi turun pada –2 < x < 0.

c. Titik balik maksimum dan minimum lokal sanggup ditentukan dari diagram tanda.

• Pada x = –2, f(x) berubah dari fungsi naik menjadi fungsi turun sehingga x = –2 yakni titik balik maksimum lokal.

f(x) = x³ + 3x² ↔ f(–2) = 4

Titik (–2, 4) yakni titik balik maksimum lokal.

• Pada x = 0, f(x) berubah dari fungsi turun menjadi fungsi naik sehingga x = 0 yakni titik balik minimum lokal f(x) = x³ + 3x² ↔ f(0) = 0

Titik (0, 0) yakni titik balik minimum lokal.

Langkah 3: Membuat denah grafik

Hasil denah grafik tampak pada Gambar di bawah ini.

$4.$$\mathrm{Misalkan\; h(x)=5+(f(x))2\; dengan\; grafik\; f(x)\; diberikan\; pada\; gambar\; di\; bawah.\; Nilai\; h\prime (0)=\cdots \cdot \; A.\; -16 \; \; \; \; \; \; \; \; C.\; -5 \; \; \; \; \; \; \; \; E.\; -13\; B.\; -7 \; \; \; \; \; \; \; \; \; D.\; -43}$

$\mathrm{PEMBAHASAN:}$

$\mathrm{Diketahui\; h(x)=5+(f(x))2.\; Turunan\; pertama\; h(x)\; dapat\; dicari\; dengan\; menggunakan\; aturan\; rantai.\; h\prime (x)=0+2f(x)\cdot f\prime (x)=2f(x)\cdot f\prime (x)\; Jika\; x=0,\; diperoleh\; h\prime (0)=2f(0)\cdot f\prime (0)\; Nilai\; fungsi\; f\; saat\; x=0\; adalah\; f(0)=2\; (lihat\; grafik).\; f\prime (0)\; menyatakan\; gradien\; garis\; singgung\; f(x)\; di\; titik\; x=0.\; Tampak\; pada\; grafik\; bahwa\; garis\; singgung\; f(x)\; di\; titik\; tersebut\; melalui\; (-1,6)\; dan\; (0,2)\; sehingga\; gradiennya\; adalah\; f\prime (0)=m=6-2-1-0=-4.\; Untuk\; itu,\; h\prime (0)=2f(0)\cdot f\prime (0)=2(2)(-4)=-16\; Jadi,\; nilai\; dari\; h\prime (0)=-16\; (Jawaban\; A)}$

$5.$$\mathrm{Turunan\; pertama\; dari\; invers\; fungsi\; f(x)=x-12\; adalah\; df-1(x)dx=\cdots \cdot \; A.\; -2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; C.\; -12 \; \; \; \; \; \; \; \; \; E.\; 2\; B.\; -1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; D.\; 12}$

$\mathrm{PEMBAHASAN:}$

$\mathrm{Diketahui\; f(x)=x-12.\; Pertama,\; akan\; dicari\; invers\; fungsi\; f(x)\; terlebih\; dahulu.\; Misalkan\; f(x)=y.\; y=x-122y=x-12y+1=x2y+1=f-1(y)2x+1=f-1(x)\; Jadi,\; invers\; fungsi\; f(x)\; adalah\; f-1(x)=2x+1.\; Turunan\; pertamanya\; dapat\; dicari\; dengan\; menggunakan\; aturan\; dasar\; turunan,\; yaitu\; df-1(x)dx=2\; (Jawaban\; E)}$

$6.$$\mathrm{Tentukan\; turunan\; kedua\; dari\; y\; =\; 21x4\; +\; 32x3\; –\; 5x2\; +\; 6.}$

$\mathrm{a.}$$\mathrm{6x2\; +\; 4x\; –\; 10 \; b.\; 8x\; -\; 4x-10 \; c.\; 6x-4y+10 \; d.\; 10x+2x-6 \; e.\; 4x+6x-10}$

$\mathrm{Penyelesaianya}$

$\mathrm{=\; 21x4\; +\; 32x3\; –\; 5x2\; +\; 6dydx}$

$\mathrm{=21\cdot 4x3\; +\; 32\cdot 3x2\; –\; 5\cdot 2x\; +\; 0}$

$\mathrm{=2x3\; +\; 2x2\; –\; 10x22dydx}$

$\mathrm{=2\cdot 3x2\; +\; 2\cdot 2x\; –\; 10}$

$\mathrm{=\; 6x2\; +\; 4x\; –\; 10\; (A)}$

$\mathrm{DAFTAR\; PUSTAKA}$

$\mathrm{https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-turunan-fungsi-aljabar/}$

$\mathrm{https://zenius-study.weebly.com/uploads/6/7/3/3/6733740/mat\_257.pdf}$