PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

Nama: Aliya Rahmah

Kelas : XI IPS 2

Absen: 04

Persamaan Garis Singgung Kurva dan Persamaan Garis Normal di suatu Titik pada Kurva

Garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah titik singgung A(x1,y1) maka persamaan garis singgungnya adalah

Persamaan garis normal bergradien dan melalui A(x1,y1)

CONTOH SOAL:

1. Grafik fungsi f(x)=x2−4x+5 menyinggung garis g di x=−1. Gradien garis g adalah ⋯⋅

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=x^2-4x+5$.
Turunan pertama dari fungsi $f\left(x\right)$ adalah $f^{\prime }\left(x\right)=2x-4$.
Gradien garis singgung $g$ diperoleh saat $x=-1$, yaitu
$m=f^{\prime }(-1)=2(-1)-4=-6$
Jadi, gradien garis $g$ adalah $-6$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ }}}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{2.\; Tentukan\; persamaan\; garis\; singgung\; kurva\; y\; =\; x2\; di\; titik\; (-1,\; 1)!}}}$

Pembahasan:

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{<br>}}}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{Cari\; gradien\; dari\; kurva\; y\; dengan\; menggunakan\; turunan\; pertama.\; m\; =\; y’}}}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{<br>}}}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{Maka\; persamaan\; garis\; singgung\; kurva\; dengan\; gradient\; m\; =\; -2\; di\; titik\; (-1,\; 1)\; adalah}}}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{<br>}}}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ }}}$

$\boxed{{\displaystyle 3.}}$Persamaan garis singgung fungsi f(x)=2+x−x2 pada titik (1,2) adalah… $\boxed{{\displaystyle \mathrm{}}}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{<br>}}}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{pembahasan:}}}$

f(x)=2+x−x2

f′(x)=m=1−2x

(1,2)→mgs=1−2(1)=−1

Persamaan garis singgung :

y−2=−1(x−1)

y−2=−x+1

 

x+y−3=0

 

4.Diketahui fungsi y=x3−2x2+4Persamaan garis singgung di titik dengan absis 2 adalah…

  y=x3−2x2+4

x=1⇒

y=(2)3−2(2)2+4=4

y′=3x2−4x

y′=m=3(2)2−4(2)=12−8=4

Jadi persamaan garis singgung di titik (2,4)

bergradien 2 4

adalah : m= -2x+1= -2+(1)+1=-1

y-y1=m(x-1)

y-2=-1(x-1)

y-2= -x +1+2

y=-x+3

 

4.Diketahui fungsi y=x3−2x2+4. Persamaan garis singgung di titik dengan absis 2 adalah…  

pembahasan: 

 y=x3−2x2+4

x=1⇒

y=(2)3−2(2)2+4=4

y′=3x2−4x

y′=m=3(2)2−4(2)=12−8=4

Jadi persamaan garis singgung di titik (2,4)

bergradien 4

adalah :

y−4y−4⇒y=4(x−2)=4x−8=4x−4.

5. Jika garis singgung pada y−3x2=0 sejajar dengan garis singgung pada y−2x2−6x=0, koefieisen arah garis singgung tersebut adalah…

pembahasan: 

y−3x2=0⇒y=3x2

y′=6x

….(1)

y−2x2−6x=0

⇒y=2x2+6x

y′=4x+6

….(2)

Karena garis singgung dari dua kurva tersebut sejajar, maka memiliki gradien yang sama, sehingga dari pers (1) dan (2):

6x=4x+6

2x=6

⇒x=3

Jika x=3

, maka

y′=m=6(3)=18

Jadi koefisien arah garis singgung adalah 18.

66

 6. Persamaan garis normal kurva $f\left(x\right)=3x^3-3x+2$ di $x=1$ adalah $\cdots \cdot$

$pembahasan:$

$Diketahui\; f(x)=3x3-3x+2.\; Substitusi\; x=1\; untuk\; mencari\; ordinat\; titik\; singgungnya.\; f(1)=3(1)3-3(1)+2=3-3+2=2\; Jadi,\; titik\; singgungnya\; di\; (1,2).\; Nilai\; turunan\; f(x)\; di\; x=1\; adalah\; gradien\; garis\; singgungnya.\; f\prime (x)=3(3)x2-3=9x2-3m\prime =f\prime (1)=9(1)2-3=6\; Garis\; normal\; adalah\; garis\; yang\; tegak\; lurus\; terhadap\; garis\; singgung\; sehingga\; gradiennya\; adalah\; m=-1m\prime =-16.\; Persamaan\; garis\; yang\; melalui\; titik\; (x1,y1)=(1,2)\; dan\; bergradien\; m=-16\; adalah\; y-y1=m(x-x1)y-2=-16(x-1)6(y-2)=-(x-1)6y-12=-x+1x+6y=13\; Jadi,\; persamaan\; garis\; normalnya\; dinyatakan\; oleh$$x+6y=13$

$7.$$Persamaan\; garis\; normal\; kurva\; f(x)=-2x3+6x2\; di\; titik\; P\; adalah\; 6y+x=25.\; Koordinat\; titik\; P\; adalah\; \cdots \cdot$

$pembahasan:$

$Diketahui\; f(x)=-2x3+6x2.\; Gradien\; garis\; normal\; 6y+x=25\; adalah\; m\prime =-Koef.xKoef.y=-16.\; Garis\; singgung\; adalah\; garis\; yang\; tegak\; lurus\; garis\; normal,\; sehingga\; gradien\; garis\; singgung\; adalah\; m=-1m\prime =6.\; Misalkan\; titik\; singgung\; di\; P(a,b).\; Substitusi\; x=a\; pada\; f\prime (x)\; untuk\; mendapatkan\; gradien\; garis\; singgung\; (diketahui\; di\; sini\; bahwa\; m=6)$

$f(x)=-2x3+6x2f\prime (x)=-6x2+12xm=f\prime (a)=-6a2+12a6=-6a2+12a6a2-12a+6=0Kedua\; ruas\; dibagi 6a2-2a+1=0(a-1)2=0\; Diperoleh\; a=1.\; Substitusi\; x=1\; pada\; f(x).\; f(x)=-2x3+6x2f(1)=-2(1)3+6(1)2b=-2+6=4\; Jadi,\; koordinat\; titik\; P\; adalah\; (1,4)$

$8.$$Titik\; A(1,(a+2))\; terletak\; pada\; kurva\; f(x)=ax2-(a+1)x+6.\; Tentukan\; persamaan\; garis\; normal\; kurva\; di\; titik\; A.$

$pembahasan:$

$Diketahui\; f(x)=ax2-(a+1)x+6\; dan\; titik\; A(1,(a+2))\; terletak\; pada\; kurva\; f(x).\; Substitusi\; x=1\; pada\; f(x).\; f(1)=a(1)2-(a+1)(1)+6a+2=a-(a+1)+6a+2=5a=3\; Dengan\; demikian,\; f(x)=3x2-4x+6\; dan\; A(1,5).\; Substitusi\; x=1\; pada\; f\prime (x)\; untuk\; mendapatkan\; gradien\; garis\; singgung\; di\; A.\; f\prime (x)=6x-4m\prime =f\prime (1)=6(1)-4m\prime =2\; Garis\; normal\; adalah\; garis\; yang\; tegak\; lurus\; dengan\; garis\; singgung\; sehingga\; gradiennya\; adalah\; m=-1m\prime =-12.\; Persamaan\; garis\; yang\; melalui\; titik\; (x1,y1)=(1,5)\; dan\; bergradien\; m=-12\; adalah\; y-y1=m(x-x1)y-5=-12(x-1)2y-10=-x+1x+2y=11\; Jadi,\; persamaan\; garis\; normal\; di\; titik\; A\; adalah\; x+2y=11$

$DAFTAR\; PUSTAKA:$

$https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-persamaan-garis-singgung-menggunakan-turunan/$

$https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/Garis-Singgung-dan-Garis-Normal-2016/menu4.html$

y−4y−4⇒y=4(x−2)=4x−8=4x−4