PEMBAHASAN SOAL PAT

NAMA: ALIYA RAHMAH

XI IPS 2 (04)

PEMBAHASAN SOAL PAT

1.Dik: Premis I jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan bersih.

              premis II jika lingkungan bersih maka hidup akan nyaman

Dit?     kesimpulan:

JAWAB: Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan menjadi nyaman 

2 Dit: buktikan 1+3+5... 2n-1= n²  

  jawab:

langkah 1 : 

 n=1

1= 1² 

1=1 (benar) 

langkah 2:

n=k

1+3+5.... 2k-1=k² (benar)

langkah 3:

n=k+1

1+3+5...2k-1+(2(k=1)-)= (k+1) ²  

    k² +2k+2-1                =  (k+1) ² 

   (k+1) (k+1)                = (k+1) ² 

      (k+1) ²                     =(k+1) ² 

dapat disimpulkan bahwa berbilai benar untuk n bilangan asli karena ruas kiri=ruas kanan

3. Dik:

Dit: tunjukan barisan geometri berlaku

Jawab: 

4.dik: 1 per 1.2+1 per 2.3+1 per 3.4+.....+1per n(n+1) untuk nεN

Dit: buktikan!

Jawab: 

5. Dik:a 2n-1 +b 2n-1 habis dibagi oleh a+b

   Dit? pembuktian:

  jawab:

6. Dik: 5 2x+3x-1 habis dibagi 9 untuk setiap x anggota bilangan asli

   Dit? pembuktian:

   jawab:

 

7. Dik: bilangan asli n ≥ 5 akan berlaku 2n-3<  2n-2

   Dit: pembuktian   

   Jawab: 

n_>5={1,2,3,4,5}

2n-3<2n-2

=2(1)-3<2(1)-2

=(-1)<0(benar)

2(2) -3<2(2) -2

=1<2 (benar)

2(3) -3<2(3) -2

=3<4(benar)

2(4) -3<2(4) -2

=5<6( benar)

2(5) -3<2(5) -2

=7<8( benar)

 

8. Dik: 2x-3y=-13 dan x+2y=4

    Dit: penyelesaian

    jawab:

 

9. Dik:

5kg gula + 30kg beras = 410.000

2kg gula + 60kg beras = 740.000

Dit : 2kg gula + 5kg beras ?

Jwb :

gula = x

beras = y

5x + 30y = 410.000 |*2

2x + 60y = 740.000 |*1

10x + 60y = 820.000

2x + 60y = 740.000 

_______-

8x = 80.000

x = 10.000

subtitusikan x nya ke persamaan

 2x + 60y = 740.000

2(10.000) + 60y = 740.000

20.000 + 60y = 740.000

60y = 720.000

y = 12.000

jadi, harga 1kg gula = Rp 10.000 dan 1kg beras = Rp 12.000

maka 2kg gula dan 5kg beras

= 2(10.000) + 5(12.000)

= 20.000 + 60.000

= Rp 80.000

 

10. Dik: 5x+3y≼≤15

      Dit: daerah bersih?

      jawab:

5x + 3y ≤ 15            uji titik 0,0

x = 0  | x = 0            5(0) + 3(0) ≤ 15

y = 5  | y = 3                            0 ≤ 15 (benar)

 

 

11. Dik: 2x-5y>20

      Dit? daerah kotor?

     jawab:

 a. Mencari x dan y

x 0 10

y -4 0

b. Menentukan dan letak daerah kotor

2(0) - 5(0) > 20

0 > 20 (salah)

c. Membuat garis koordinat

 per 1.2+1 per 2.3+1 per 3.4+.....+i per n(n+1) untuk setiap bilangan asli

12. Dik: 5x+6y ≥30 , -2×+y≤0 y≥2

       Dit: daerah penyelesaian

       Jawab: 

   

13.Daerah yang diarsir pada gambar adalah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 3x + 5y ≤ 30 ; 2x - y ≤ 4 ; x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Penyelesaian Soal :

LANGKAH PERTAMA (I)

Buatlah sistem pertidaksamaan pada setiap garis dengan menggunakan cara sebagai berikut :

Persamaan garis I melalui titik (0,6) dan (10,0) sehingga :

ax + by = ab

6x + 10y = 6.10

6x + 10y = 60     .... (÷2)

3x + 5y = 30

Kemudian perhatikan daerah arsiran yang mengarah ke bawah atau melalui titik (0,0). Jika arsiran melalui titik (0,0) maka jika diuji titik (0,0)  pernyataan dikatakan benar :

3x + 5y = 30

3.0 + 5.0 = 30

0 + 0 = 30

0 ≤ 30  (Benar)

Pertidaksamaannya : 3x + 5y ≤ 30

Persamaan garis II melalui titik (0,-4) dan (2,0) sehingga :

ax + by = ab

-4x + 2y = (-4).2

-4x + 2y = -8     .... (÷ 2)

-2x + y = -4

Kemudian perhatikan daerah arsiran yang mengarah ke sisi kiri atau melalui titik (0,0). Jika arsiran melalui titik (0,0) maka jika diuji titik (0,0)  pernyataan dikatakan benar :

-2x + y = -4

(-2).0 + 0 = -4

0 + 0 = -4

0 ≥ -4  (Benar)

Pertidaksamaannya :

-2x + y ≥ -4    .... (× -1)

2x - y ≤ 4

Kemudian pada arsiran juga terdapat garis x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Sehingga pertidaksamaannya adalah :

3x + 5y ≤ 30 ; 2x - y ≤ 4 ; x ≥ 0 dan y ≥ 0.

14. Dik: Nilai Maksimum 3x + 2y ?

x + y > 5

Jawab:

sumbu x ; y = 0 ( 5, 0)

sumbu y ; x = 0 ( 0, 5)

maka Nilai Maksimumnya adalah

3x + 2y

( 5, 0) = 3(5) + 2(0) = 15

(0, 5) = 3(0) + 2(5) = 10

Nilai maksimum nya adalah 15

15. Dik:

X = banyaknya sedan

Y = banyaknya truk

Luas Parkiran:

sedan= 15

Truk = 15

Kapasitas 420

Kuantitas:

sedan= 1

Truk = 1

Kapasitas 60

Jawab:

•Persamaan garis 1 : 5x + 15y = 4200

Titik (0,0) merupakan salah satu himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan tersebut sehingga diperoleh

5x + 15y = 4200 disederhanakan menjadi

5x + 15y ≤ 4200

•Persamaan garis 2 : x + y = 60

Titik (0,0) merupakan salah satu himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan tersebut sehingga diperoleh

x + y = 60 disederhanakan menjadi

x + y ≤ 60

•Kendala non negative diberikan oleh

X ≥ 0, y ≥ 0

•Jadi model matematika nya

5x + 15y ≤ 4200; 4x + y  ≤ 60 ; x  ≥ 0, y  ≥ 0

Jawaban: 5x + 15y ≤ 4200; 4x + y  ≤ 60 ; x  ≥ 0, y  ≥ 0

16. diket :

- Model I memerlukan 1 m kain polos dan 3 m kain bergaris.

- Model II memerlukan 2 m kain polos dan 1 m kain bergaris.

- Persediaan kain polos 20 m

- persediaan kain bergaris 20 m

- Harga jual model I Rp.150.000,00

- Harga jual model II Rp.100.000,00

Dit : Penghasilan maksimum yang dapat diperoleh  = ...

Jwb : 

(1) Kita Buat Tabel Untuk memudahkan:

Model   ||    Polos  ||  Garis  ||  Harga

   I         ||       1       ||     3      ||  150.000

  II         ||       2      ||      1      ||  100.000

Stok      ||       20    ||      20   ||   maksimum

(2) Kita buat kalimat matematika dari Tabel diatas Dengan kain polos sebagai (x) dan kain bergaris sebagai (y) :

x + 2y ≤ 20

3x + y ≤ 20

dengan :

x ≥ 0

y ≥ 0

Dan Fungsi Tujuan adalah harga jual :

150.000x + 100.000y

(3) Tentukan nilai fungsi x dan y pada grafik fungsi :

Dari x + 2y = 20 :

x = 0, y ⇒ 0 + 2y = 20

            ⇒       2y = 20

            ⇒          y = 20/2

            ⇒          y = 10

Titik Koordinat ⇒ (0,10)

y = 0, x ⇒ x + 2y = 20

            ⇒ x  + 0  = 20

            ⇒         x  = 20

Titik Koordinat ⇒(20,0)

Dari 3x + y = 20

x = 0 , y ⇒ 3x + y = 20

             ⇒ 0   + y = 20

Titik Koordinat ⇒ (0,20)

y = 0, x ⇒ 3x + y = 20

            ⇒ 3x + 0 = 20

            ⇒ 3x        = 20

            ⇒   x        = 20/3

Titik Koordinat ⇒ (20/3,0)

Dari Titik - titik tersebut tarik garis lurus hingga terhubung.

Lalu kita cari titik potong dari garis tersebut, dengan metode eliminasi dan subtitusi :

Eliminasi y :

x + 2y = 20  | x 1  |   x + 2y = 20

3x + y = 20  | x 2 | 6x + 2y = 40

                            ============  -

                             -5x          = -20

                                x           = 20/5

                                x           = 4

Subtitusikan nilai x pada persamaan 3x + y = 20 :

3 . 4 + y = 20

12 + y = 20

       y = 20 - 12

       y = 8

Koordinat titik potong garis pada (4,8)

(4) Selanjutnya Dari Titik - titik yang berpotongan kita uji dengan :

Fungsi Tujuan f(x,y) = 150.000x + 100.000y :

Ada 3 titik pada Grafik (perhatikan lampiran)

A. Titik (0,10) = 150.000 . (0) + 100.000 . (10) =

                      = 0 + 1.000.000 = 1.000.000

B. Titik (4,8) = 150.000 . (4) + 100.000 . (8) =

                      = 600.000 + 800.000 = 1.400.000

C. Titik (20/3,0) = 150.000 . (20/3) + 100.000 . (0) =

                        = 1.000.000 + 0 = 1.000.000

Dari Hasil Uji diatas dapat dilihat, penghasilan terbesar pada titik (4,8) yaitu sebesar Rp.1.400.000,00

17.

18. 

Det (AtB)=( 10.34)-(12.12) = 340-144 =196

19. Dik: Diketahui

A = 

Matriks A tidak mempunyai invers

Ditanyakan  

x = .... ?

Jawab

Suatu matriks tidak mempunyai invers jika determinan matriks tersebut sama dengan nol

|A| = 0

(2x + 1)(5) – 3(6x – 1) = 0

10x + 5 – 18x + 3 = 0

8 – 8x = 0

8 = 8x

x = 

x = 1

20.

21.

 

 

22.

Sehingga, kita mendapatkan matriks-matriks produksi S dan M sebagai berikut.

Untuk menentukan banyaknya total pakaian yang diproduksi oleh JCloth, kita jumlahkan matriks S’ dengan M’ seperti berikut.

Dari penjumlahan matriks di atas, kita memperoleh informasi banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth. Dengan menjumlahkan semua elemen-elemen matriks penjumlahan tersebut, kita peroleh bahwa banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth kurang lebih 28.142.

23. pensil (x) dan penghapus (y)

Maka:
5x + 3y = 11.500 | x2 | 10x + 6y = 23000
4x + 2y = 9000 | x3 | 12x + 6y = 27000
——————-—-
-2x = -4000
x = 2000

5x + 3y = 11500
5(2000) + 3y = 11500
10000+ 3y = 11500
3y = 1500
y = 500

6(2000) + 5(500)
12000 + 2500
=14.500

 

24. Banyaknya makanan yang disetorkan setiap harinya adalah,

Matriks A = 
 
Matriks harga makanan adalah,

Matriks B = 

⇔ AB = pemasukan harian Bu Ani
⇔ AB = 
⇔       = 
⇔       = 
⇔       = 

Jadi, pemasukan harian yang diterima Bu Ani dari setiap kantin A, kantin B, dan kantin C berturut-turut adalah Rp 55.000,00; Rp 93.000,00; dan Rp 100.000,00.

Total pemasukan harian Bu Ani dari seluruh kantin adalah Rp 55.000,00 + Rp 93.000,00 + Rp 100.000,00 = Rp 248.000,00

25.dik:

x + y = 16

3x + 4y = 55

Jika ditulis dalam bentuk matriks:





Jadi, Lisa bekerja selama 9 jam sedangkan Muri bekerja selama 7 jam.

26. Transformasi geometri ↓

Penyelesaian Soal

Bayangan titik A (-1, 4) oleh refleksi terhadap garis y= -x

Pencerminan terhadap garis y = -x

A(a, b)  → gr y = -x → A'(-b, -a)

A(-1, 4) → gr y = -x → A'(-4, -(-1)) = (-4, 1)

 

27. (x, y) dicerminkan thp sumbu x : (x, -y) kemudian

(x, -y) dicerminkan thp sumbu y : (-x, -y)

Jadi

-x = x' => x = -x'
-y = y' => y = -y'

Bayangan dari : y = 3x² + 2x - 1 adalah
(-y') = 3(-x')² + 2(-x') - 1
-y' = 3x'² - 2x' - 1
y = -3x² + 2x + 1

28. Matriks refleksi y = x adalah:

Matriks rotasi 90° berlawanan jarum jam di pusat (0,0) adalah:


Menghasilkan komposisi transformasi:


Memberikan:


Yang mana:
x = -x'
y = y'

Substitusi ke persamaan yang akan menghasilkan:

29. Kita  siapkan variabel-variabel x dan y sebagai variabel awal, x' dan y' sebagai variabel bayangan setelah pencerminan garis, dan x" serta y" sebagai variabel bayangan setelah translasi.

Step-1 pencerminan garis x = k

Untuk x = 2

(x' , y') = (2(2) - x, y)

(x' , y') = (4 - x, y) akan disubtitusi ke Step-2

Step-2 translasi (- 3, 4)

Translasi (a, b) dengan a = -3 dan b = 4.

(x", y") = (x' + (- 3), y' + 4)

(x", y") = (4 - x + (- 3), y + 4)

(x", y") = (1 - x, y + 4)

Sehingga, x" = 1 - x dan y" = y + 4

Setelah diatur dengan pindah ruas menjadi 

Substitusikan ke bentuk awal x²+ y² = 4

⇔ (1 - x")² + (y" - 4)² = 4

Selanjutnya tanda aksen dapat dihilangkan

⇔ (1 - x)² + (y - 4)² = 4  

⇔ x² - 2x + 1 + y² - 8y + 16 = 4

⇔ x² + y² - 2x - 8y + 1 + 16 - 4 = 0

Kesimpulan

Dari langkah-langkah pengerjaan di atas, diperoleh persamaan bayangan lingkaran 

30. A(3,-2)

dipetakan oleh T(1 -2)

x' = x + 1 = 3 + 1 = 4
y' = y + (-2) = -2 + (-2) = -4

Bayangan A = A' = (4,-4)

lanjut rotasi [O , 90°]

x" = -y' = -(-4) = 4
y" = x' = 4

Bayangan akhir = A" = (4,4)

 

31.

 

32.

refleksi thd sb x

x' = x

y' = -y

Bayangan

y = x² + 3x + 3

-y' = x'² + 3x' + 3

y = -x² - 3x - 3

• lanjut dilatasi [O, 4]

x' = 4x → x = 1/4 x'

y' = 4y → y = 1/4 y'

Bayangan akhir

y = -x² - 3x - 3

1/4 y' = -(1/4 x')² - 3(1/4 x') - 3

1/4 y = -1/16 x² - 3/4 x - 3

Kedua ruas kalikan 4

y = -1/4 x² - 3x - 12 ✔

 

33.

 

34.

35.

.

36. maka
U1,U2,U3,...
50.000, 55.000, 60.000,....
maka 
a=50.000
b=5.000(beda per bulan)
yg ditanyakan=jumlah tabungan dlm 2 tahun, maka jumlah tabungan dalam 24 bulan
maka
Sn=n/2(a+Un)
cari Un dulu
Un=a+(n-1)b
U24 =50.000+(24-1)5.000
U24=50.000+23x5.000
U24=50.000 + 115.000
U24=165.000
lalu
Sn=n/2(a+Un)
S24=24/2(50.000+165.000)
S24=12(215.000)
S24=2.580.000

 

37.

38.

.

39.
 

 

40. 

pertumbuhan,bunga tunggal,bunga majemuk,bunga anuitas,peluruh

 NAMA: ALIYA RAHMAH

KELAS: XI IPS 2

ABSEN:03

PERTUMBUHAN, BUNGA TUNGGAL, BUNGA MAJEMUK, BUNGA ANUITAS, PELURUH

Pertumbuhan
Pertumbuhan adalah kenaikan jumlah pada tiap periode waktu berdasarkan suatu rasio pertumbuhan. Pertumbuhan menurut deret ukur (geometri). Nilai benda semakin lama semakin naik atau semakin besar 

Rumus : 

Ht = Ho. 1 + r t 

Dimana : 

Ht : pertumbuhan dalam waktu (t) 

Ho : nilai awal 

r : rasio pertumbuhan (%)

t : waktu

Contoh Soal  

jumlah penduduk 10.000 jiwa dengan pertumbuhan penduduk 5% per tahun. Tentukan perkiraan jumlah penduduk pada akhir tahun ke-4

 

PEMBAHASAN:

diket: Ho = 10.000 r = 5% t = 4
ditanya : Ht = ? Ht = Ho. 1 + r t
Jawab : Ht = Ho. 1 + r t 

Ht = 10.000 . 1 + 5% 4 

Ht = 10.000 . 1 + 0,05 4

Ht = 10.000 . 1,05 4 

Ht = 12.115 Jiwa
jumlah penduduk 10.000 jiwa dengan pertumbuhan penduduk 5% per tahun. Tentukan perkiraan jumlah penduduk pada akhir tahun ke-4

Peluruhan

Peluruhan merupakan penerapan dari konsep barisan dan deret geometri turun.

Rumus

An = A ( 1 - r)n

An = nilai pada periode ke-n

A = nilai awal

r = prosentase peluruhan

n = periode peluruhan

Contoh:

Ayah membeli mobil seharga Rp 100.000.000,- . Setiap tahun tingkat harga mengalami penurunan 5%. Jika ayah menjual mobilnya setelah 4 tahun. Maka berapa kisaran harga mobil ayah?

Jawab:

A = 100.000.000

r = 5%

n = 4 tahun

An = 100.000.000 ( 1 – 0,05)4

      = 100.000.000 ( 0,95)4

      = 100.000.000 (0,814506)

      = 81.450.600

Bunga 

adalah pertambahan modal untuk para nasabahnya dihitung dari persentase modal dan lamanya menabung. 

Rumus : 

B = Mn – Mo 

B = b% . Mo
B = bunga (%) = bunga (rp) 

Mo = Modal (rp) 

Mn = uang akhir (rp)

Bunga Tunggal
Bunga tunggal adalah bunga dari perhitungan modal awal yang hanya memiliki satu variasi saja dari awal hingga akhir periode. Artinya penambahan nya tetap 

Rumus : 

Mn = Mo . (1 + n.b)

dimana:
Mo = modal awal (rp) 

b = Bunga tunggal (%) 

n = lama menabung (tahun) 

Mn = modal akhir (rp) 

Contoh Soal 

Andri meminjam uang ke bank sebesar Rp 20.000.000,00 untuk keperluan renovasi rumah. Bank tersebut memberikan syarat bunga 5% setahun. Tentukan besar uang yang harus dikembalikan andri
Diket : 

Mo = 20.000.000 

b = 5% n = 1 tahun
Ditanya : Mn = ?
Jawab : 

Mn = Mo (1 + n.b) 

Mn = 20.000.000 (1 + 1.5%) 

Mn = 20.000.000 (1 + 0,05%) 

Mn = 20.000.000 (1,05) 

Mn = 21.000.000

Bunga Majemuk
Bunga majemuk adalah bunga yang dihitung atas jumlah pinjaman pokok ditambah bunga yang diperoleh sebelumnya 

Rumus :

Mn = Mo . ( 1 + b )n
Dimana : 

Mn = nilai dalam jangka periode n 

Mo = modal/nilai awal 

b = suku bunga (%) n = waktu

Contoh soal

Diketahui modal pinjaman Rp 1.000.000,00 dengan bunga majemuk sebesar 2% per bulan. Tentukan modalnya setelah 5 bulan
Diket : Mo = 1.000.000 b = 2% per bulan n = 5 bulan
Ditanya : Mn = ?
Jawab : 

Mn = Mo ( 1 + b )n 

Mn = 1.000.000 ( 1 + 2% )5 

Mn = 1.000.000 ( 1,02 )5 

Mn = 1.104.080,80

Bunga Anuitas 

Anuitas adalah pengeluaran atau pemasukan dana secara rutin menurut periode tertentu dengan jumlah dan jangka wakty yang telah ditetapkan 

Rumus :
𝐴 =𝑀.𝑖 1 − ( 1 + 𝑖)−𝑛
Dimana : 

A = Anuitas 

M = Besar pinjaman 

i = suku bunga

 n = banyaknya anuitas

Contoh soal 

Pada tanggal 1 januari bu rani meminjam uang di koperasi sebesar Rp 2.000.000,00. pinjaman itu akan dilunasi dengan 4 kali angsuran. Suku bunga 12% setahun setiap 3 bulan. Tentukan besar anuitasnya

Diket : M = 2.000.000 i = 12% = 0,12 n = 4
Ditanya : A = ?
Jawab :
𝐴 =𝑀.𝑖 1 − ( 1 + 𝑖)−𝑛
𝐴 =2.000.000 𝑥 0,12 1 − ( 1 + 0,12)−4
𝐴 =240.000 1 − ( 1,12)−4
𝐴 =240.000 0,36448
= 658472,344
Jadi anuitasnya Rp 658.472,34

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

 NAMA: ALIYA RAHMAH

KELAS: XI IPS 2

NO ABSEN:03

BARISAN GEOMETRI

 

Apa sih barisan geometri itu? Lalu apa bedanya dengan barisan aritmetika? Barisan geometri merupakan barisan bilangan yang hasil bagi antara dua suku berurutannya selalu sama atau tetap. Perbandingan (hasil bagi) antara dua suku berurutan pada barisan geometri disebut dengan rasio yang dilambangkan dengan r.

1. Bentuk barisan geometri

Rumus untuk menentukan rasio pada barisan geometri adalah sebagai berikut.

Keterangan:
r = rasio;
Un = suku ke-n;
Un-1= suku sebelum suku ke-n; dan
n = banyaknya suku.

2. Suku ke-n barisan geometri

Suku ke-n masih bisa kamu tentukan selama nilai n belum terlalu besar. Namun, jika nilai n cukup besar, cara seperti itu sulit untuk dilakukan. Untuk memudahkan kamu dalam menghitung suku ke-n barisan geometri, gunakan persamaan berikut.

 

Akibat dari rumus suku ke-n tersebut, dapat diperoleh

Jika banyak suku (n) ganjil, suku tengah (Ut) barisan geometri dapat dirumuskan sebagai berikut.

Sementara itu, jika di antara dua buah suku U1,U2,U3,…,Un disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri baru, rasio dan banyak suku dari barisan tersebut akan berubah sesuai rumusan berikut.

Keterangan:
r’= rasio barisan geometri baru;
r= rasio barisan geometri lama;
k= banyak suku yang disisipkan;
n’= banyak suku barisan geometri baru; dan
n= banyak suku barisan geometri lama.

Perlu diingat bahwa suku pertama barisan baru sama dengan suku pertama barisan lama.

Dengan a merupakan suku pertama atau U1. Untuk mengasah kemampuanmu, simak contoh soal berikut ini.

Contoh soal 1

Diketahui suku ke-2 dan ke-4 barisan geometri berturut-turut adalah 12 dan 27. Jika nilai r > 0, tentukan nilai dari suku ke-3!

Pembahasan:

Diketahui:

U₂ = 12

U₄ = 27

r > 0

Ditanya: U₃ =…?

Pembahasan:

Nyatakan suku ke-2 dan ke-4 dalam notasi matematis.

Lakukan pembagian antara kedua suku seperti berikut.

 

Setelah rasio diketahui, tentukan suku ke-3nya.

Jadi, nilai dari suku ke-3 adalah 18.

3. Suku tengah barisan geometri

Sama halnya barisan aritmetika. Pada barisan geometri yang banyak sukunya ganjil, suku tengahnya bisa diperoleh dengan persamaan berikut.

 

4. Sisipan pada barisan geometri

Misalkan Quipperian menjumpai barisan geometri dengan rasio r. Lalu, barisan geometri tersebut disisipi k bilangan di setiap 2 bilangan yang berdekatan. Setelah disisipi k bilangan, terbentuk barisan geometri baru yang rasionya k’. Pertanyaanya adalah berapakah rasio barisan geometri yang baru? Untuk memudahkan Quipperian, gunakan persamaan berikut.

                                            Deret Geometri

Jumlah suku ke-n pertama dari suku-suku barisan geometri disebut sebagai deret geometri berhingga. Mengapa disebut berhingga? Karena memiliki suku akhir tertentu. Apakah mungkin ada deret geometri tak hingga? Mungkin saja sih. Pembahasan deret geometri tak hingga bisa kamu dapatkan di pembahasan Quipper Blog selanjutnya. Secara matematis, jumlah suku ke-n pertama barisan geometri dirumuskan sebagai berikut.

Agar belajarmu lebih afdal, simak contoh soal terkait deret geometri berikut.

Contoh soal 2

Pembahasan:

Diketahui:

Ditanya: r =…?

Pembahasan:

Pertama, Quipperian harus mencari suku pertama dan kedua barisan tersebut.

 

Selanjutnya, tentukan jumlah 2 suku pertama barisan geometri tersebut.

Tentukan suku ke-2nya.

 

Tentukan rasionya!

 

Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah 3.

Di awal pertemuan ini, Quipperian diajak untuk menghitung berapa keuntungan setelah berinvestasi selama 10 bulan? Penasaran? Check check this out!

Contoh soal 3

Kamu berinvestasi sebesar Rp10.000.000. Pada bulan pertama kamu investasi, keuntungan yang diperoleh adalah Rp2.000. Pada bulan kedua, keuntungannya menjadi Rp4.000 dan bulan ketiga menjadi Rp8.000. Kira-kira berapa keuntungan yang kamu dapatkan setelah 10 bulan berinvestasi? Dan berapa total uang yang bisa kamu kumpulkan setelah berinvestasi selama 10 bulan?

Pembahasan:

Pada kondisi tersebut, keuntungan setiap bulan merupakan kelipatan 2 dari bulan sebelumnya. Artinya, jika dibentuk barisan, keuntungan tersebut akan menjadi barisan geometri, yaitu Rp2.000, Rp4.000, Rp8.000, …,U_n. Setelah 10 bulan, keuntungannya akan menjadi:

 

Jadi, keuntungan yang akan kamu dapatkan setelah berinvestasi selama 10 bulan adalah Rp2.046.000 dengan total uang mencapai Rp10.000.000 + Rp2.046.000 = Rp12.046.000.