metode pembuktian

ASSALAMUALAIKUM WR.WB SAYA ALIYA RAHMAH XI IPS 2 SAYA AKAN MEMBERIKAN MATERI DAN SOAL SOAL METODE PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA, SEMOGA BERMANFAAT.

Metode pembuktian

1    1. Metode pembuktian langsung

2    2. Metode pembuktian tidak langsung, terdiri dari:

a.     Dengan kontradiksi

b.     Dengan kontraposisi

3  3.Induksi matematika

LANGKAH-LANGKAH MELAKUKAN PEMBUKTIAN langsung

 

1    1. Tulislah teorema yang akan dibuktikan

Contoh: jumlahh 2 bilangan genap adalah genap

2    2. Tulislah dengan kata “bukti” sebagai pemisah antara pembukti dan teorema yang ingin dibuktikan.

3    3. Buktikanlah secara lengkap menyeluruh agar dapat dimengerti beberapa keterangan pelengkap seperti:

- buat variabel dan tipenya

Contoh: sembarang 2 bilangan, misalnya (m+n), variabel: (m+n)

- apabila ditengah tengan pembuktian ada suatu sifat variabel, tulislah

Contoh: 2 sembarang bilangan (m+n) harus genap, maka m= 2r dan n = 2s

- apabila menggunakan sifat tertentu dalam suatu persamaan maka tulis  disebelah kanan

Contoh: m= 2r & n = 2s

                (m+n) = 2r + 2s

                            = 2(r + s)   → sifat distributif

- jika bertemu dengan ekspresi maka buat variabel baru

Contoh:  ekspresi penyingkiran= (r+s)

                 Misal : k= (r+s)

                  Sehingga (m +n) = 2(r+s)

                                                =2k →  (m+n)=2k

- penyelesaian

Bukti: k=r+s

(m+n)=2r+s

(m+n)=2(r+s)

(m+n)=2(k)

Terbukti bahwa jumlah dar  bilangan genap adalah bilangan genap juga

Metode pembuktian tidak langsung

1.     Dengan kontradiksi (bertentangan)

Langkah-langkah:

-         Misalkan negasi (-) dari statement yg akan dibuktikan benar

-         Dengan langkah yg benar tunjukan hasil pembuktian menimbulkan kontradiksi

-         Simpulkan bahwa statement yg dibuktikan benar

Contoh: buktikan bahwa hasil kali 2 bilangan ganjil adalah ganjil

Bukti:

              2 bilangan ganjil misal variabel m dan n

             Andaikan hasil kalinya (m.n) adalah genap

             M=2.k +1 dan n=2.S+1 K dan S adalah bilangan bulat

m.n = (2.k + 1)(2s+1)

        =4.k.s + 2.S + 2K+1

        =2(2.K.S+S+K)+1

        = 2.P +1

Terbukti berapapun bilangan bulat p, hasil kali 2 bilangan ganjil adalah ganjil. Hal ini berkontradiksi dengan pengandaian tadi. Berarti pengandaiannya salah.

2.     Dengan kontraposisi

p⇾Q= 〜P⇾ -Q

untuk membuktikan kebenaran P⇾Q Cukup tunjukan bahwa 〜p akan mengakibatkan -Q

Contoh: buktikan jika n kuadrat adalah bilangan ganjil maka n adalah bilangan ganjil.

Bukti:

 p= n kuadrat adalah bilangan ganjil

Q=n adalah bilangan ganjil

p⇾Q

-Q= bilangan genap yaitu n=2k

Sehingga:n kuadrat = (2k) kuadrat

                n kuadrat =4k kuadrat

                n kuadrat =2(2k)kuadrat                                            

                n kuadrat = 2(m)

                    n=2k kuadrat

pernyataan 〜p → -Q terbukti apabila p〜Q = 〜p ⇾ -Q maka terbukti pula p⇾Q

dimana hasil dari kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

 induksi matematika

Langkah-langkah:

1.     Buktikan n=1 benar

2.     Misalkan n=k pernyataan benar

3.     Pakai langkah 2 buktikan p benar untuk n=k+1

contoh soal dan pembahasan

soal 1

Jika diketahui n adalah ganjil, maka n²  adalah .....

A. Ganjil

B. Genap

C. konstanta

D. A dan B benar

E. Tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : A. Ganjil

pembahasan: Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga 

n = 2k + 1. Akan ditunjukkan bahwa n² ganjil.

n² = (2k + 1)²

     = 4k² + 4k + 1

     = 2(2k² + 2k) +1.

Perhatikan bahwa n² = 2(2k² + 2k) +1.Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k² + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n² adalah ganjil.

Soal 2

2..Pernyataan berikut yang sesuai dengan metode pembuktian kontradiksi adalah…

A. Jika p benar maka q benar

B. Jika ~q benar maka ~p juga harus benar

C. Membuat permisalan jika p maka q adalah benar

D. Suatu pembuktian untuk pernyataan yang memuat bilangan asli

E. Tidak ada jawaban yang benar 

Jawaban A. Membuat Permisalan jika p maka q adalah benar

pembahasan: Kontradiksi ialah dua hal dimana kedua hal tersebut tidak boleh sama sama benar dalam waktu yang sama. Jadi, kita buat pemisalan jika p salah , q benar. Jika kita buat ke dalam operasi logika p maka q (p → q) maka hasil yang didapat adalah benar.

Soal 3

Yang manakah yang termasuk dalam metode  pembuktian tidak langsung…

A. Metode kontraposisi

B. Metode Disjungsi

C. Metode Equivalen

D. Metode Ingkarang

E. Metode Eliminasi

Jawaban : A. Metode kontraposisi

pembahasan:Karena metode kontraposisi termasuk metode pembuktian tidak langsung. 

Soal 4

Bertikut ini adalah pernyataan yang benar mengenai prinsip induksi sederhana, kecuali.....

A. N ≥ 1 untuk bilangan bulat positif

B. P(1) bernilai benar

C. P(n+1) harus bernilai benar

D. N ≥ 1 untuk bilangan ganjil

E. P(n) harus bernilai benar

Jawaban : D. N ≥ 1 untuk bilangan ganjil

pembahasan:Karena, salah satu ciri dari induksi sederhana adalah N ≥ 1 untuk bilangan bulat positif, sementara pada pilihan D hanya untuk bilangann ganjil.

Soal 5

Apakah N³ + 2n adalah kelipatan 3 berlaku untuk n = 1 dan berlaku kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat postitif n (menggunakan induksi matematika)…?

A. ya dan ya

B. ya dan tidak

C. tidak dan bisa jadi

D. tidak dan tidak

E. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : A. Ya dan ya

pembahasan: q Basis untuk n = 1 akan diperoleh :

               13 + 2(1) = 3 yang merupakan kelipatan 3 (ya, berlaku n = 1)

q induksi (misalkan) untuk n = k asumsikan menjadi k³ + 2k = 3x

q adib untuk n = k + 1 berlaku :

               (k + 1)³ + 2(k + 1) adalah kelipatan 3

               (k³ + 3k² + 3k+1) + 2k + 2

               (k³ + 2k) + (3k² + 3k + 3)

               (k³ + 2k) + 3 (k² + k + 1)

               induksi 

               3x + 3 (k² + k + 1)

               3 (x + k² + k + 1)

Kesimpulan : N³ + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat positif n (ya, berlaku kelipatan 3).

Soal 6

Terdapat implikasi : Jika 15 habis dibagi 3, maka 15 adalah bilangan ganjil. kemudian 15 habis dibagi 3. Kesimpulannya adalah...

A. 15 habis dibagi 3

B. 15 adalah bilangan ganjil 

C. 3 adalah bilangan ganjil

D. 3 habis dibagi 3

E. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : B. 15 adalah bilangan ganjil

pembahasan: Jika 15 habis dibagi 3, maka 15 adalah bilangan ganjil         (p → q)

15 habis dibagi 3                                                                    (p        )

∴   15 adalah bilangan ganjil                                                 (         q)

Soal 7

misalkan p(n) benar untuk semua bilangan positif n ≥ 1 untuk bilangan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1). p(n + 1) bernilai...

A. Benar

B. Salah

C. A dan B benar

D. A dan B salah

E. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : A. Benar

pembahasan: jika p(n + 1) benar, maka :

n = n + 1

2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)

2 + 4 + 6 + ... + 2n + 2(n + 1) = n + 1(n + 1 + 1)

2n + 2n + 2 = (n + 1) (n + 2)

2n + 2n + 2 = n (n + 1) + 2n + 2

                      = n² + n + 2n + 2

                      = n² + 3n + 2 

                      = (n + 1) (n + 2) Terbukti Benar.

Soal 8

Penyelesaian dari 6x + 8y = 21 dan 3x + 4y = 7 dengan metode eleminasi adalah...

A. 7 = 2

B. 1 = 7

C. 0 = 7

D. 7 = 1

E. 2 = 7

Jawaban : C. 0 = 7

pembahasan: 6x + 8y = 21   -->  6x + 8y = 21

                           3x + 4y = 7     -->  6x + 8y = 14 (persamaan kedua dikalikan dengan 2)

                                  0 = 7

Soal 9

Jika diketahui m, n adalah kuadrat sempurna, maka terbuktik bahwa mn

adalah ...

A. bukan kuadrat sempurna

B. kuadrat sempurna

C. Konstanta

D. A dan C benar

E. Tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : B. kuadrat sempurna

pembahasan: Misalkan m, n adalah kuadrat sempurna, artinya

m = k², n = p² untuk suatu k, p bilangan bulat.

mn = (k²)(p²)

      = (kp)²

Karena k, p

Soal 10

Dibawah ini pernyataan yang benar tentang metode pembuktian langsung adalah ...

A. 3 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2

B. 4 adalah bilangan genap sebab terdapat 1

C. 5 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2

D. A, B, dan C benar

E. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : C. 5 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2

pembahasan: Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GANJIL jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga

n = 2k + 1.

5 = 2(2) + 1

5 = 4 + 1

5 = 5

Soal 11  
Jika diketahui n adalah ganjil, maka buktikan bahwa n2 adalah ganjil.     
Jawaban dan pembahasan: 
Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga
 n = 2k + 1.    akan ditunjukkan bahwa n2 ganjil.
 n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) +1. Perhatikan bahwa 
 n2 = 2(2k2 + 2k) +1.   karena k adalah bilangan bulat, 
maka (2k2 + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n2 adalah ganjil. 

Soal 12 
Jika diketahui m, n adalah kuadrat sempurna, maka buktikan bahwa mn adalah juga         kuadrat sempurna. 
 jawaban dan pembahasan:
 Misalkan m, n adalah kuadrat sempurna, artinya m = k2, n = p2,  untuk suatu k, p 
suatu  bilangan bulat. mn = (k2)(p2)  = (kp)2 Karena k, p  

 Soal 13
 Tunjukkan setidaknya ada 4 hari yang sama dari 22 hari.
 Jawaban dan pembahasan:  
 Misal p = “setidaknya 4 dari 22 hari adalah hari yang sama” Andaikan –p bernilai benar, artinya paling banyak hanya ada 3 hari yang sama dari 22 hari. Ada 7 hari dalam sepekan, itu artinya paling banyak 21 hari bisa dipilih karena untuk setiap hari dalam sepekan, paling banyak tiga hari yang dipilih bisa jatuh pada hari itu. Ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa kita memiliki 22 hari. Artinya jika r = “22 hari yang dipilih”, maka telah ditunjukkan bahwa –p  (r  -r). Artinya p bernilai benar

Soal 14

 Gunakan induksi matematika untuk menunjukkan bahwa 5ⁿ – 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan dan jawaban

1. Untuk n = 1,
   yang sangat jelas habis dibagi 4.
2. Kita anggap 5^k – 1 habis dibagi 4 untuk sebarang bilangan bulat positif k. Akan kita tunjukkan 5^{k + 1} – 1 juga habis dibagi 4.
   Karena 4 ∙ 5^k dan 5^k – 1 habis dibagi 4 maka 5^{k + 1} – 1 habis dibagi 4. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa 5ⁿ – 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n.

 Soal 15

Buktikan bahwa 3²ⁿ – 1 habis dibagi 8 untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan dan jawaban: 

Misalkan P(n) merupakan notasi untuk pernyataan “ 3²ⁿ – 1 habis dibagi 8.”

1. Pertama kita tunjukkan bahwa P(1) benar. Karena
   yang habis dibagi 8, maka P(1) terbukti benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita menyatakan bahwa 3^2k – 1 habis dibagi 8. Selanjutnya kita akan tunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar.
   Karena 8 ∙ 3^2k dan 3^2k – 1 habis dibagi 8 maka 3^{2(k + 1)} – 1 habis dibagi 8. Jadi dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa 32n – 1 habis dibagi dengan 8 untuk semua bilangan bulat positif n.

Soal 16

 Buktikan bahwa n² – n + 41 merupakan bilangan ganjil untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan dan jawaban:

1. Untuk n = 1,
   merupakan bilangan ganjil.
2. Kita anggap untuk sebarang bilangan bulat positif k, k² – k + 41 merupakan bilangan ganjil. Selanjutnya kita harus menunjukkan bahwa (k + 1)² – (k + 1) + 41 adalah bilangan ganjil.
   
   Karena k² – k + 41 adalah bilangan ganjil dan 2k adalah bilangan genap, maka jumlah kedua bilangan tersebut, yaitu (k + 1)² – (k + 1) + 41 merupakan bilangan ganjil. Jadi, dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika kita dapat meyimpulkan bahwa n² – n + 41 merupakan bilangan ganjil untuk semua bilangan bulat positif n.

 Soal 17

 Buktikan bahwa

untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan dan jawaban: 

Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + … + n(n + 1) = [n(n + 1)(n + 2)]/3.

1. Kita akan tunjukkan bahwa P(1) bernilai benar. Berdasarkan rumus di atas, P(1) menyatakan
   yang bernilai benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar dan kita memperoleh hipotesis induksi sebagai berikut.
   Hipotesis ini akan kita gunakan untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. Pernyataan P(k + 1) menyatakan
   Kita mulai dari bentuk yang berada di ruas kiri, kemudian kita gunakan hipotesis induksi untuk mendapatkan bentuk pada ruas kanan.
   Sehingga kita telah menunjukkan bahwa P(k + 1) mengikuti P(k). Sehingga kita telah membuktikan langkah induksi.

Soal 18

Buktikan bahwa 4n < 2ⁿ untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5.

Pembahasan dan jawaban: 

  Misalkan P(n) menyatakan pernyataan 4n < 2ⁿ.

1. P(5) adalah pernyataan 4 ∙ 5 < 2⁵, atau 20 < 32, yang bernilai benar.
2. Anggap P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita adalah
   Kita akan menggunakan hipotesis ini untuk menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
   Sehingga kita mulai dengan bentuk di ruas kiri pertidaksamaan tersebut dan menggunakan hipotesis induksi untuk menunjukkan bahwa bentuk tersebut kurang dari bentuk yang berada di ruas kanan. Untuk k ≥ 5 kita mendapatkan
   Sehingga P(k + 1) mengikuti P(k), sehingga kita telah melakukan langkah induksi.

 Soal 19

 Buktikan bahwa n! > 2ⁿ untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 4.

Pembahasan dan jawaban: 

Misalkan P(n) merupakan notasi untuk pernyataan n! > 2ⁿ.

1. Pertama kita harus menunjukkan bahwa P(4) benar. Padahal P(4) menyatakan bahwa
   Karena 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 dan 2⁴ = 16, maka P(4) benar.
2. Kita anggap bahwa P(k): k! > 2^k benar. Kita akan tunjukkan P(k + 1): (k + 1)! > 2^{k + 1} juga bernilai benar.
   Sehingga pada langkah induksi ini kita dapat melihat bahwa kebenaran P(k) mengakibatkan P(k + 1). Jadi, dari Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa P(n) bernilai benar untuk n ≥ 4.

soal 20

Buktikan bahwa

untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 3.

Pembahasan dan jawaban: 

Misalkan P(n) menyatakan (n + 1)² < 2n².

1. Pernyataan P(3), yaitu
   dengan jelas bernilai benar.
2. Anggap P(k): (k + 1)² < 2k² bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar, yaitu [(k+1) + 1]² < 2(k + 1)². Untuk k ≥3, kita memperoleh
   Sehingga kita telah menunjukkan kebenaran pernyataan jika P(k) benar maka P(k + 1). Oleh karena itu, berdasarkan Langkah 1 dan 2, dengan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 3.   

DAFTAR PUSTAKA

https://youtu.be/jWUdt0ArwCQ

https://youtu.be/ptivxK4duyk